§ П.6. Оценка вероятности равномерного относительного уклонения

В этом параграфе мы докажем теорему.

Теорема П.3. При справедлива оценка

Доказательство. Рассмотрим два события, построенные по случайной и независимой выборке длины событие

— и событие

где частота события вычисленная на первой полувыборке длины частота события вычисленная на второй полувыборке, — частота события, вычисленная на выборке длины .

Доказывать теорему мы будем по следующей схеме. Сначала покажем, что справедливо неравенство

а затем оценим вероятность события Итак, докажем лемму.

Лемма При справедливо неравенство

Доказательство. Допустим, что событие произошло. Это значит, что существует такое что на первой полувыборке выполнится неравенство

Поскольку это значит, что

Допустим, что на второй полувыборке частота выпадания события А превзошла вероятность

Вспомним еще, что При этих условиях обязательно выполнится событие

Действительно, оценим величину

при условии

Для этого найдем минимум функции

в области

Имеем

Следовательно, Г достигает минимума в допустимой области при

Поэтому величина будет оценена снизу, если в заменить на на Таким образом,

Далее, поскольку имеем

Таким образом, при выполнении а также условий и выполняется и

Заметим, что вторая полувыборка выбирается независимо от первой и, как известно, при частота

выпадания события с вероятностью 1/4 превышает Поэтому событие

выполняется при условии выполнения с вероятностью, большей 1/4, если только

Таким образом, при

Лемма доказана.

Лемма П.3. Справедлива оценка

Доказательство. Обозначим через величину

Тогда оцениваемая вероятность равна

Здесь интегрирование ведется в пространстве всех возможных выборок длины .

Рассмотрим теперь все возможные перестановки последовательности

Для каждой такой перестановки справедливо равенство

Поэтому справедливо равенство

Рассмотрим теперь подынтегральное выражение. Так как в нем выборка фиксирована, то вместо системы событий S можно рассматривать конечную систему событий куда входит по одному представителю из каждого класса эквивалентности.

Таким образом, справедливо равенство

Далее справедливо (201

Выражение в фигурных скобках есть вероятность уклонения частот в двух полувыборках для фиксированного события А и для данного состава полной выборки.

Эта вероятность равна

где число выпаданий событий А в полной выборке, число выпаданий событий в первой полувыборке, пробегает значения

Обозначим через х величину

В этих обозначениях ограничения примут вид

В § П.5 была найдена оценка величины Г при ограничениях

Выражая через х, получим

Правая часть неравенства достигает максимума при Таким образом,

Подставим в правую часть и проведем интегрирование

Лемма доказана.

Из неравенств следует справедливость теоремы.