§ 2. Замечание о постановке задачи интерпретации результатов прямых экспериментов

В приведенной постановке задачи интерпретации результатов прямых экспериментов требуется, чтобы искомая функция принадлежала заданному параметрическому семейству

Это требование связано с тем, что плотность предполагается восстанавливать методами параметрической статистики (при восстановлении плотности параметрическими методами необходимо, чтобы искомая плотность принадлежала заданному семейству плотностей). Однако возможна и другая постановка, согласно которой неизвестная плотность принадлежит заданному параметрическому множеству плотностей а искомая зависимость не принадлежит заданному множеству зависимостей . Иначе говоря, в схеме интерпретации результатов прямых экспериментов может быть поставлена задача: найти минимум функционала

по выборке

если совместная плотность неизвестно а множество функций не обязательно совпадает с Если , то минимум функционала (4.8) достигается на ближайшей к функции из . Близость здесь понимается в смысле

Если же то минимум совпадает с регрессией. (Этот факт также немедленно следует из тождества

Таким образом, регрессия доставляет абсолютный минимум функционалу (4.8).

Для известной плотности решение задачи минимизации функционала (4.8) также может быть проведено методами параметрической статистики: по выборке (4.2) восстанавливается плотность а затем минимизируется эмпирический функционал

Заметим, что для задачи обучения распознаванию образов отыскание условного (в классе минимума функционала (а не безусловного) составляло предмет исследования дискриминантного анализа

Как указывалось в § 2 главы III, целесообразность такой постановки определялась ограниченностью объема выборки: по ограниченной выборке плотность восстанавливается неточно, и поэтому гарантированный минимум величины среднего риска может быть достигнут на функции, принадлежащей более узкому классу.

Совершенно аналогичная ситуация возникает и при интерпретации результатов прямых экспериментов по выборкам ограниченного объема: вследствие неточного определения плотности, гарантированная близость к регрессии может достигаться на функции, принадлежащей более узкому классу

Методы сужения классов искомых зависимостей для получения меньшей гарантированной величины среднего риска будут рассмотрены в главе VIII.