§ 4. Теорема об оценивании вектора средних многомерного нормального закона

В этом параграфе мы получим семейство оценок вектора средних, равномерно лучших, чем Этому семейству принадлежит оценка (5.21).

Итак, пусть — случайный вектор, распределенный согласно — случайная величина, распределенная согласно центральному -распределению с степенями свободы. Обозначим

Справедлива

Теорема 5.4 (Баранчик). Оценка -мерного вектора средних

где монотонная неубывающая функция, лежащая в пределах

равномерно лучше оценки

Замечание. Теорема 5.2 является частным случаем теоремы 5.4, если положить

Доказательство. При доказательстве теоремы 5.4 используется следующий факт: математическое ожидание случайной величины , взятое по мере случайная величина, распределенная согласно нецентральному -распределению с степенями свободы и параметром , представимо в виде

- случайная величина, распределенная согласно центральному -распределению с степенями свободы, случайная величина, распределенная согласно закону Пуассона с параметром

(математическое ожидание в правой части равенства вычисляется как по х, так и по

Таким образом,

Перейдем непосредственно к доказательству теоремы. Нашей целью является доказательство того, что разность

— величина неположительная. Обозначим

и преобразуем (5.29)

Следующие выражения с (5.31) по (5.34) мы получим в предположении, что величина S фиксирована. Согласно (5.28) имеем

Преобразуем теперь выражение

Для этого произведем ортогональное преобразование векторов х в векторы так, чтобы в новой системе координат вектор средних был равен (отлична от нуля лишь первая координата, которая равна норме вектора средних). При таком преобразовании величина S не меняется.

Получим

где первая координата вектора

Заметим теперь, что

Таким образом, получим

где случайная величина, распределенная по закону Пуассона со средним Окончательно получим

Наконец, учитывая, что есть среднее случайной величины распределенной по закону Пуассона, выразим третье слагаемое в сумме (5.30) в виде

Представим выражение (5.30) в виде

Пусть теперь есть случайная величина, распределенная согласно центральному -распределению с степенями свободы. Тогда теорема будет доказана, если мы установим, что выражение

неположительно ни при каком

Обозначим и заметим, что

Поэтому из условия теоремы (5.27) следует

Преобразуем выражение (5.35), используя обозначения (5.36) и тот факт, что

Учитывая (5.37), получим, что величина не превосходит

где обозначено

Для всякого фиксированного определим такую константу а, для которой

Заметим, что для всякого справедливо Поэтому, учитывая, что, согласно условию теоремы,

функция не убывает, оценим величину

(Здесь мы воспользовались равенством

Подставим теперь в (5.39) значение а, удовлетворяющее (5.38), и вычислим математическое ожидание (5.39)

Учитывая, что неубывающая функция, получим оценку

(Для центрального -распределения справедливо

Таким образом, величина (5.35) не превосходит нуля. Теорема доказана.