§ 10. Вычисление наилучшей несмещенной оценки

Построим наилучшую несмещенную оценку плотности многомерного нормального закона. При построении оценки существенно будет использован тот факт, что для распределения экспоненциального типа существует единственная несмещенная оценка, выраженная через достаточные статистики [26, 35]. Иначе говоря, существует единственное решение уравнения Фредгольма I рода

где нормальный закон, а плотность распределения вероятностей его достаточных статистик.

Согласно теореме, приведенной в предыдущем параграфе, решением уравнения (3.42) в силу единственности является наилучшая несмещенная оценка плотности многомерного нормального закона.

Покажем, что несмещенная оценка плотности -мерного нормального закона распределения вероятностей равна

Здесь — вектор средних, - эмпирическая оценка ковариационной матрицы А, выражение означает

При выводе наилучшей несмещенной оценки плотности -мерного нормального закона воспользуемся формулой Байеса

где плотность задает распределение статистик а плотность — распределение статистики — условная плотность. Покажем, что условная плотность (3.43) есть несмещенная оценка плотности В самом деле,

А так как несмещенная оценка, выраженная через достаточные статистики, единственна, то и есть наилучшая несмещенная оценка. Вычислим . Найдем сначала Для нормального закона появления вектора х

где

Пусть векторы из которых образуются тройки появляются случайно и независимо согласно плотности

Рассмотрим векторы полученные из ортогональным преобразованием

Векторы распределены независимо по закону Справедливо

Выразим матрицу S через векторы Для этого воспользуемся представлением

и тем, что для преобразования X справедливо

В результате получим

Обозначим

Заметим, что векторы распределены по нормальному закону Кроме того, элементы независимы. Так как распределены по нормальному закону, а — по закону Уишарта, то совместное распределение равно

где — распределение Уишарта:

константа, определенная в (3.31),

Выразим теперь через элементы

Для этого заметим, что

Учитывая, что якобиан преобразования (3.45) равен и подставляя (3.45) в (3.44), получим

откуда находим

Найдем теперь знаменатель выражения (3.43).

Для нормального распределения векторов х статистики и распределены независимо:

где распределено по нормальному закону по закону Уишарта откуда следует, что

если и равно нулю в противном случае, константа, определенная в (3.31).

Подставляя (3.46) и (3.48) в (3.43), получаем

в случае, когда Заметим, что

Откуда окончательно получаем

где обозначено