Главная > Восстановление зависимостей по эмпирическим данным
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 2. Задача дискриминантного анализа

Итак, пусть требуется найти минимум функционала (3.3) для заданной плотности распределения вероятностей (заданных состава объединения и пропорции объединения

Рассмотрим сначала простой случай: класс возможных решающих правил никак не ограничен. В этой ситуации легко может быть построено решающее правило, минимизирующее функционал (3.3).

В самом деле, согласно формуле Байеса вероятность того, что вектор х принадлежит первому (второму) классу, определяется так:

Минимальные потери (минимум вероятности ошибки) будут получены при такой классификации, при которой вектор х относят к первому классу, если более вероятной оказывается его принадлежность к первому классу, чем ко второму, т. е. если

В противном случае вектор х относят ко второму классу.

Иначе говоря, учитывая (3.6), вектор х должен быть отнесен к первому классу, если выполнится неравенство

или, что то же самое, оптимальная классификация векторов осуществляется с помощью характеристической функции

где

Таким образом, знание плотности распределения вероятностей (состава и пропорции объединения (3.5))

позволяет немедленно построить оптимальное решающее правило.

Однако задача отыскания оптимального решающего правила значительно усложняется, если класс возможных решающих правил ограничен. В частности, трудной оказывается задача отыскания оптимального линейного решающего правила, т. е. правила вида

Вектор определяет направление линейной дискриминантной функции, а параметр пороговое значение. Задача отыскания минимума (3.3) в классе (3.8) получила название задачи линейного дискриминантного анализа.

В 30-х годах Р. Фишер предложил в качестве направления линейной дискриминантной функции выбирать направление, на котором достигается максимум величины относительного расстояния между математическими ожиданиями проекций векторов различных классов, т. е. направление а, на котором достигается максимум величины

где

Отыскание максимума (3.9) для произвольных плотностей — задача чрезвычайно трудная. Поэтому основные исследования в области линейного дискриминантного анализа были направлены на то, чтобы установить для определенных типов плотностей, что, во-первых, линейная дискриминантная функция Фишера действительно определяет решение задачи линейного дискриминантного анализа, а во-вторых, найти алгоритмы вычисления дискриминантной функции. Основной результат здесь заключается в том, что для объединения двух нормальных законов

вектор средних, — матрица ковариации для первого многомерного нормального закона; — аналогичные элементы для второго закона), взятых в пропорции оптимальная линейная дискриминантная функция задается вектором

направления

где Значение определяется из условия обращения в нуль так называемой резольвентной функции

При направление (3.10) линейной дискриминантной функции максимизирует функционал

Вычисление нулей резольвентного уравнения (3.8) — задача достаточно трудная. Поэтому на практике при построении линейной дискриминантной функции полагают Тем самым в качестве решения задачи принимается линейная дискриминантная функция Фишера. (Подробнее смотри

Таким образом, проблемы, которые возникают в дискриминантном анализе, связаны с тем, что класс возможных решающих правил, на котором ищется минимум функционала (3.3), ограничен. Поэтому может показаться, что задача дискриминантного анализа надумана. В самом деле, если уж удается восстановить плотность распределения вероятностей, то для чего отыскивать решающее правило, доставляющее функционалу условный минимум, когда легко можно найти решающее правило (см. (3.7)), доставляющее функционалу (3.3) абсолютный минимум?

Суть, однако, заключается в том, что если плотность восстанавливается неточно, то величина гарантированного уклонения минимума эмпирического функционала от минимума функционала среднего риска будет большей для функции, выбранной из более широкого класса. Поэтому может оказаться, что меньшее гарантированное значение среднего риска будет достигнуто не на функции, доставляющей абсолютный минимум эмпирическому функционалу, а на функции, принадлежащей более узкому классу и доставляющей условный минимум.

Такой результат связан с эффектом второго механизма минимизации среднего риска (см. § 4 гл. II). Идеи сужения класса решающих правил для получения меньшей гарантированной величины среднего риска будут реализованы ниже в главах VIII—IX. В этой же главе мы рассмотрим параметрические методы восстановления

плотностей. Согласно (3.7) знание плотности распределения вероятностей немедленно приводит к построению решающего правила, доставляющего абсолютный минимум (3.3).

1
Оглавление
email@scask.ru