§ П.3. Основная лемма

Пусть взята выборка длины 21:

и подсчитаны частоты выпадания события на первой полувыборке и второй полувыборке Обозначим соответственно частоты через и рассмотрим отклонение этих величин

Нас будет интересовать максимальное отклонение частот по всем событиям класса

Введем обозначение:

Далее будем полагать, что как так и измеримые функции.

Основная лемма. Распределения величин связаны следующим соотношением:

если только

Доказательство. По определению

где

Учитывая, что пространство выборок длины есть прямое произведение полувыборок длины согласно теореме Фубини [28], для любой измеримой функции справедливо

Поэтому имеем

(во внутреннем интеграле первая полувыборка фиксируется). Обозначим через событие пространства

ограничивая область интегрирования, получим

Оценим внутренний интеграл правой части неравенства, обозначив его через Здесь выборка фиксирована и такова, что Следовательно, существует такое, что

Тогда

Пусть, например,

(совершенно аналогично рассматривается случай Тогда для выполнения условия

достаточно потребовать, чтобы выполнялось соотношение

откуда получаем

Как известно, последняя сумма превосходит 1/2, если только Возвращаясь к получим для

что и требовалось доказать.