Основные утверждения главы IX

1. Интерпретация результатов косвенных экспериментов в условиях, когда искомая функция связана с измеряемой операторным уравнением

образующим некорректно поставленную задачу, возможна лишь при проведении достаточно большого числа измерений.

2. С помощью метода упорядоченной минимизации риска может быть получена последовательность решений, сходящаяся с ростом числа измерений к искомой функции, если структура на множестве возможных решений задана разложением функций по собственным элементам самосопряженного оператора А А, упорядоченным в порядке убывания собственных чисел.

3. Задание другой структуры на множестве функций (например, связанной с разложением по полиномам), вообще говоря, не обеспечивает сходимости получаемой последовательности решений к искомому. Однако для задачи восстановления регрессии и ее производных сходимость в равномерной метрике последовательности получаемых решений к искомому возможна, если структура образована кусочно-полиномиальными зависимостями (сплайн-функциями), упорядоченными по числу точек сопряжения.

4. К задаче численного дифференцирования функции, заданной измерениями в случайно выбранных точках приводится задача восстановления плотности вероятностей в классе гладких функций.

Особенность ее состоит в том, что ошибки измерения коррелированы. Конструктивные алгоритмы восстановления плотности методом упорядоченной минимизации риска связаны с возможностью учета ковариационной матрицы ошибок измерения. Эти алгоритмы восстановления плотности на практике более точны, чем алгоритмы Парзена.