Главная > Восстановление зависимостей по эмпирическим данным
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 5. Задача восстановления плотности распределения вероятностей

Задачи, которые решают теория вероятностей и математическая статистика соотносятся между собой как прямые и обратные.

Задачи теории вероятностей можно было бы описать следующей схемой: известен состав генеральной совокупности и закон распределения вероятностей. Требуется для заданной схемы эксперимента оценить вероятность исходов эксперимента.

Математическая статистика решает обратные задачи: по результату эксперимента определяет свойства закона распределения. Исчерпывающей характеристикой закона распределения является плотность распределения вероятностей.

Таким образом, задача восстановления плотности распределения вероятностей по выборке является центральной проблемой математической статистики. В этом параграфе мы убедимся, что задача восстановления плотности является, вообще говоря, некорректно поставленной.

Пусть задана выборка и достаточно широко определен класс функций, которому принадлежит плотность распределения вероятностей (например, известно лишь, что принадлежит непрерывным функциям). Требуется восстановить плотность распределения вероятностей.

Рассмотрим сначала одномерный случай. Согласно определению плотность распределения вероятностей связана с функцией распределения вероятностей интегральным соотношением

Или, что то же самое, соотношением

где обозначено

Для непрерывных плотностей существует единственное решение уравнения (2.24).

Определим теперь эмпирическую функцию распределения вероятностей: если величина превосходит элементов выборки

Центральная теорема математической статистики — теорема Гливенко — Кантелли — утверждает, что с ростом объема выборки эмпирическая функция распределения равномерно приближается к истинной.

Теорема (Гливенко-Кантелли). Пусть функция распределения случайной величины эмпирическая функция распределения. Тогда при справедливо

Мы не будем приводить здесь доказательство этой теоремы. В главе VI будет доказана теорема о равномерной сходимости частот появления событий к их вероятностям, из которой теорема Гливенко — Кантелли следует как частный случай.

Вернемся к интегральному уравнению (2.24), решение которого определяет плотность распределения вероятностей. Будем искать приближенное решение этого уравнения в ситуации, когда вместо функции распределения случайной величины известна эмпирическая функция найденная по конечной выборке. В главе IX, используя оценку скорости равномерной сходимости к мы покажем, что существует такая процедура получения приближенных решений уравнения (2.24), при которой с ростом последовательность решений стремится к искомой плотности вероятностей.

Таким образом, существует принципиальная возможность восстанавливать непрерывную плотность распределения вероятностей. Однако восстановление плотности связано с решением некорректно поставленной задачи численного дифференцирования (2.24) в условиях, когда правая часть уравнения задана неточно.

Правда, при восстановлении плотности распределения вероятностей заранее известно, что решением интегрального уравнения (2.24) окажется не любая непрерывная функция, а функция принимающая лишь

неотрицательные значения и удовлетворяющая условию

Однако этой априорной информации недостаточно, чтобы задача решения интегрального уравнения (2.24) перестала быть некорректно поставленной.

Подобно одномерному случаю может быть поставлена задача восстановления многомерной плотности распределения вероятностей. Для этого также выпишем интегральное уравнение, связывающее многомерную плотность с многомерной функцией распределения вероятностей:

и определим многомерную эмпирическую функцию распределения

где число элементов выборки попадающих в область

Оказывается, что справедлив многомерный аналог теоремы Гливенко — Кантелли: с ростом объема выборки эмпирическая функция распределения равномерно сходится к функции распределения вероятностей. Справедливость обобщенной теоремы Гливенко — Кантелли также будет следовать из общей теории равномерной сходимости частот к вероятностям, рассмотренной в главе VI.

С помощью этой теоремы аналогично одномерному случаю устанавливается принципиальная возможность восстановления многомерных плотностей по эмпирическим данным.

Таким образом, задача восстановления плотности распределения вероятностей в классе непрерывных функций сводится к некорректной задаче численного дифференцирования функции распределения вероятностей.

Заметим, что приведенная здесь постановка задачи численного дифференцирования отличается от задачи численного дифференцирования, рассмотренной в примере 3

главы I. В главе I рассматривались некорректные задачи измерения, т. е. такие постановки некорректных задач, у которых ошибки являлись результатом измерения — значения правой части интегрального уравнения (2.24) определялись в I точках статистически независимо. В нашем же случае разность между точным значением правой части и функцией, полученной в результате измерения, является случайной функцией.

Таким образом, задача восстановления плотности распределения вероятностей является задачей более общей, чем интерпретация результатов косвенных экспериментов, И, следовательно, решать задачу минимизации среднего риска по эмпирическим данным путем восстановления плотности распределения вероятностей, вообще говоря, нерационально. (Наоборот, в главе IX мы рассмотрим задачу восстановления плотности как проблему минимизации среднего риска по эмпирическим данным).

Однако возможны вырожденные случаи, когда имеется настолько большая априорная информация об искомой плотности распределения вероятностей, что задача перестает быть некорректно поставленной.

Так, задача восстановления плотности может оказаться корректно поставленной, если плотность известна с точностью до конечного числа параметров (здесь важно, что число параметров конечно и заранее известно).

Методы восстановления плотности распределения вероятностей, заданной с точностью до конечного числа параметров, получили название методов параметрической статистики. Они образуют специальный класс методов восстановления плотности, который существенно отличается от общих методов восстановления плотности распределения вероятностей (иногда их называют методами непараметрической статистики).

1
Оглавление
email@scask.ru