Главная > Восстановление зависимостей по эмпирическим данным
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 5. Некорректно поставленные задачи

Говорят, что решение операторного уравнения

устойчиво, если малая вариация правой части приводит к малому изменению решения, т. е. если окажется, что для всякого 8 найдется такое что, как только выполнится неравенство

окажется выполненным и неравенство

Здесь индексы означают, что расстояние определяется соответственно в метриках пространства (операторное уравнение (1.10) осуществляет отображение из пространства в пространство

Говорят также, что задача решения операторного уравнения поставлена корректно по Адамару, если решение уравнения:

1) существует, 2) единственно, 3) устойчиво.

Задача решения операторного уравнения считается поставленной некорректно, если решение уравнения не удовлетворяет хотя бы одному из перечисленных требований.

Ниже, в основном тексте книги, мы ограничимся решением некорректных задач интерпретации результатов косвенных экспериментов, заданных интегральными уравнениями Фредгольма I рода

Однако все полученные результаты будут справедливы и для уравнений, заданных любыми другими линейными непрерывными операторами.

Необходимые факты теории решения некорректно поставленных задач приведены в приложении к главе.

Итак, рассмотрим интегральное уравнение Фредгольма I рода

заданное непрерывным почти всюду на ядром и отображающее множество непрерывных на отрезке [0, 1] функций на множество непрерывных на отрезке [0, 1] функций

Покажем, что задача решения уравнения (1.12) является некорректно поставленной.

Для этого заметим, что непрерывная функция образованная с помощью ядра

обладает свойством:

Рассмотрим интегральное уравнение 1

В силу линейности уравнения Фредгольма решение уравнения (1.13) имеет вид

где есть решение уравнения (1.12).

При достаточно больших правые части уравнений (1.12) и (1.13) различаются мало (на в то время как их решения разнятся на величину

Интегральное уравнение Фредгольма I рода является одним из основных уравнений в задаче интерпретации результатов косвенных экспериментов. Вот примеры задач, которые связаны с решением этого уравнения.

1. Обратная задача спектроскопии. Пусть с помощью некоторого реального спектроскопа наблюдается спектр Так как прибор реальный, т. е. имеет конечную разрешающую способность, то наблюдаемый спектр, вообще говоря, отличается от того, который зафиксировал бы идеальный спектроскоп (т. е. спектроскоп с бесконечно высокой разрешающей способностью).

Требуется редуцировать спектр, полученный на приборе с конечным разрешением, к истинному спектру.

Часто такая задача может быть решена. Известно, например, что характеристика «сглаживания» (аппаратная функция) некоторых реальных спектроскопов имеет вид

Наблюдаемый спектр связан с истинным спектром соотношением

Чем лучше прибор (меньше а), тем менее искажается спектральная картина.

При а характеристика прибора стремится к идеальной:

И, следовательно,

Однако, как бы ни был плох реальный спектроскоп, в принципе по полученному спектру можно найти истинный, но для этого надо решить обратную задачу спектроскопии, т. е. решить интегральное уравнение

используя вместо функции эмпирические данные

2. Задача идентификации линейных объектов. Известно, что Динамические свойства линейных однородных объектов с одним выходом полностью описываются импульсной переходной (весовой) функцией Функция представляет собой реакцию объекта на единичный импульс, подаваемый на систему в момент

Зная эту функцию, можно вычислить реакцию объекта на любое возмущение по формуле

Таким образом, определение динамических характеристик объекта сводится к отысканию весовой функции

Известно, что для линейного однородного объекта справедливо уравнение Винера—Хопфа

Уравнение (1.14) связывает автокорреляционную функцию стационарного случайного процесса на входе объекта, весовую функцию объекта и взаимную корреляционную функцию входного и выходного сигналов

Задача идентификации линейного объекта, таким образом, заключается в определении весовой функции объекта по известной автокорреляционной функции входного сигнала и измеренной взаимной корреляционной функции входного и выходного сигналов, т. е. в решении интегрального уравнения (1.14) по эмпирическим данным.

3. Задача восстановления производных. Пусть даны измерения функции в I точках отрезка [0, 1]. Точки, на которых проведены измерения, заданы случайно и независимо согласно равномерному закону распределения вероятностей.

Требуется восстановить на [0, 1] производную функции Легко видеть, что задача сводится к решению интегрального уравнения Вольтер рода

при условии, что известно замеров функции произведенных в точках или, что то же самое, к решению при тех же условиях уравнения Фредгольма I рода

где

В более общем случае, когда надо восстановить производную, необходимо решить интегральное уравнение

используя вместо функции эмпирические данные

Здесь значение производной в точке нуль.

1
Оглавление
email@scask.ru