§ 5. Некорректно поставленные задачи

Говорят, что решение операторного уравнения

устойчиво, если малая вариация правой части приводит к малому изменению решения, т. е. если окажется, что для всякого 8 найдется такое что, как только выполнится неравенство

окажется выполненным и неравенство

Здесь индексы означают, что расстояние определяется соответственно в метриках пространства (операторное уравнение (1.10) осуществляет отображение из пространства в пространство

Говорят также, что задача решения операторного уравнения поставлена корректно по Адамару, если решение уравнения:

1) существует, 2) единственно, 3) устойчиво.

Задача решения операторного уравнения считается поставленной некорректно, если решение уравнения не удовлетворяет хотя бы одному из перечисленных требований.

Ниже, в основном тексте книги, мы ограничимся решением некорректных задач интерпретации результатов косвенных экспериментов, заданных интегральными уравнениями Фредгольма I рода

Однако все полученные результаты будут справедливы и для уравнений, заданных любыми другими линейными непрерывными операторами.

Необходимые факты теории решения некорректно поставленных задач приведены в приложении к главе.

Итак, рассмотрим интегральное уравнение Фредгольма I рода

заданное непрерывным почти всюду на ядром и отображающее множество непрерывных на отрезке [0, 1] функций на множество непрерывных на отрезке [0, 1] функций

Покажем, что задача решения уравнения (1.12) является некорректно поставленной.

Для этого заметим, что непрерывная функция образованная с помощью ядра

обладает свойством:

Рассмотрим интегральное уравнение 1

В силу линейности уравнения Фредгольма решение уравнения (1.13) имеет вид

где есть решение уравнения (1.12).

При достаточно больших правые части уравнений (1.12) и (1.13) различаются мало (на в то время как их решения разнятся на величину

Интегральное уравнение Фредгольма I рода является одним из основных уравнений в задаче интерпретации результатов косвенных экспериментов. Вот примеры задач, которые связаны с решением этого уравнения.

1. Обратная задача спектроскопии. Пусть с помощью некоторого реального спектроскопа наблюдается спектр Так как прибор реальный, т. е. имеет конечную разрешающую способность, то наблюдаемый спектр, вообще говоря, отличается от того, который зафиксировал бы идеальный спектроскоп (т. е. спектроскоп с бесконечно высокой разрешающей способностью).

Требуется редуцировать спектр, полученный на приборе с конечным разрешением, к истинному спектру.

Часто такая задача может быть решена. Известно, например, что характеристика «сглаживания» (аппаратная функция) некоторых реальных спектроскопов имеет вид

Наблюдаемый спектр связан с истинным спектром соотношением

Чем лучше прибор (меньше а), тем менее искажается спектральная картина.

При а характеристика прибора стремится к идеальной:

И, следовательно,

Однако, как бы ни был плох реальный спектроскоп, в принципе по полученному спектру можно найти истинный, но для этого надо решить обратную задачу спектроскопии, т. е. решить интегральное уравнение

используя вместо функции эмпирические данные

2. Задача идентификации линейных объектов. Известно, что Динамические свойства линейных однородных объектов с одним выходом полностью описываются импульсной переходной (весовой) функцией Функция представляет собой реакцию объекта на единичный импульс, подаваемый на систему в момент

Зная эту функцию, можно вычислить реакцию объекта на любое возмущение по формуле

Таким образом, определение динамических характеристик объекта сводится к отысканию весовой функции

Известно, что для линейного однородного объекта справедливо уравнение Винера—Хопфа

Уравнение (1.14) связывает автокорреляционную функцию стационарного случайного процесса на входе объекта, весовую функцию объекта и взаимную корреляционную функцию входного и выходного сигналов

Задача идентификации линейного объекта, таким образом, заключается в определении весовой функции объекта по известной автокорреляционной функции входного сигнала и измеренной взаимной корреляционной функции входного и выходного сигналов, т. е. в решении интегрального уравнения (1.14) по эмпирическим данным.

3. Задача восстановления производных. Пусть даны измерения функции в I точках отрезка [0, 1]. Точки, на которых проведены измерения, заданы случайно и независимо согласно равномерному закону распределения вероятностей.

Требуется восстановить на [0, 1] производную функции Легко видеть, что задача сводится к решению интегрального уравнения Вольтер рода

при условии, что известно замеров функции произведенных в точках или, что то же самое, к решению при тех же условиях уравнения Фредгольма I рода

где

В более общем случае, когда надо восстановить производную, необходимо решить интегральное уравнение

используя вместо функции эмпирические данные

Здесь значение производной в точке нуль.