Главная > Восстановление зависимостей по эмпирическим данным
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 6. Равномерная близость эмпирических средних к математическим ожиданиям

Выше мы установили, что существуют два механизма минимизации среднего риска по эмпирическим данным.

Первый из них связан с минимизацией эмпирического функционала, построенного по восстановленной плотности. Однако промежуточная задача — восстановление

плотности — является, вообще говоря, более сложной, чем задача минимизации риска по эмпирическим данным.

Поэтому решать задачу минимизации среднего риска путем восстановления плотности, вообще говоря, нерационально.

В этом параграфе мы рассмотрим второй механизм минимизации среднего риска по эмпирическим данным. Будем решать задачу минимизации среднего риска

по эмпирическим данным

путем минимизации функционала эмпирического риска

Для каждого фиксированного функционал определяет математическое ожидание случайной величины , в то время как функционал — эмпирическое среднее этой случайной величины.

Согласно классическим теоремам теории вероятностей в достаточно общих случаях эмпирическое среднее случайной величины с ростом I сходится к математическому ожиданию этой случайной величины.

Однако из этих теорем никак не следует, что значение параметра доставляющего минимум эмпирическому риску будет доставлять среднему риску величину, близкую к минимальной. Это утверждение является важным, и потому разберем его подробнее.

Предположим для наглядности, что параметр а есть скалярная величина, лежащая в интервале Каждому а ставится в соответствие величина Рассмотрим функцию Наряду с этой функцией рассмотрим функцию которая для каждого а определяет эмпирическое среднее, найденное по выборке длины I (рис. 2).

Метод минимизации эмпирического риска предлагает по минимуму функции судить о минимуме функции Для того же, чтобы по точке минимума и минимальному значению функции можно было судить о

минимальном значении функции достаточно, чтобы кривая целиком находилась внутри х-трубки кривой Выброс хотя бы в одной точке (как на рис. 2) может привести к тому, что в качестве точки, минимизирующей будет выбрана точка выброса В этом случае минимум никак не характеризует минимум Если же функция приближает равномерно по а с точностью х, то минимум отстоит от минимума на величину, не превосходящую

Рис. 2.

Формально это означает, что нас интересуют не классические условия, когда для любого а и к справедливо

а более сильные условия, когда для любого к справедливо

В случае, когда выполняется (2.28), будем говорить, что имеет место равномерная по параметру а сходимость эмпирических средних к их математическим ожиданиям.

Итак, второй механизм минимизации риска связан с равномерной по параметру а сходимостью эмпирических средних к математическим ожиданиям. Однако для наших целей — минимизации среднего риска на выборках фиксированного объема — просто факта равномерной сходимости недостаточно, Для того чтобы с заданной

вероятностью можно было гарантировать отыскание решения, доставляющего функционалу значение, близкое к минимальному, надо, чтобы была известна оценка скорости равномерной сходимости. Действительно, выполнение неравенства

эквивалентно утверждению: с вероятностью одновременно для всех а справедлива оценка

И если убывающая по функция, то для заданного уровня надежности ,

величина доверительного интервала полученная как решение уравнения (2.30), уменьшается с ростом Следовательно, для больших I точка минимума эмпирического риска доставит величине среднего риска значение, близкое к минимальному. При любом же фиксированном I можно утверждать, что с вероятностью точка доставит величине среднего риска значение из интервала

1
Оглавление
email@scask.ru