§ 3. Фундаментальные сплайны

Пусть отрезок на котором ведется восстановление зависимости, разбит на частей

Рассмотрим следующий класс функций: на каждом из подынтервалов функция совпадает с полиномом степени (разными на разных подынтервалах) и непрерывна на всем интервале вместе со своими производными.

Такой класс функций назовем классом сплайнов степени сопряженных в точках

В дальнейшем будем считать, что а точки задающие подынтервалы, получены в результате разбиения отрезка на равных частей. Обозначим класс таких сплайнов

Проблема состоит в том, чтобы найти функцию из минимизирующую эмпирический риск

Строить сплайны удобно, введя в рассмотрение систему фундаментальных сплайнов. Для кубических сплайнов с сопряжениями на сетке вводятся фундаментальных сплайна

Фундаментальные сплайны (12.13) однозначно определяются условиями

В определении фундаментальных сплайнов означает символ Кронекера

Поскольку любой сплайн полностью определяется значениями в узлах и значениями первой производной на концах отрезка, то имеет место равенство

Именно таким представлением мы будем пользоваться дальше при восстановлении регрессии в классе сплайнов Ниже мы найдем конкретные выражения для системы фундаментальных сплайнов и с помощью этой системы представим класс сплайнов степени сопряжениями в параметрическом

виде

Тем самым мы сведем задачу отыскания сплайна, минимизирующего эмпирический риск (12.11), к определению параметров а, минимизирующих функционал

т. е. приведем решение задачи к тем же схемам линейной алгебры (12.10), к которым приводилась задача восстановления регрессии в классе полиномов.

Итак построим систему кубических фундаментальных сплайнов на равномерной сетке с шагом

Пусть значения второй производной сплайна в узлах Так как вторая производная полинома третьей степени — линейная функция, то для справедливо

где

Проинтегрировав дважды эту функцию с учетом условия непрерывности сплайна на концах отрезка получим, что кубический сплайн на отрезке описывается формулой

На всем отрезке полученная функция непрерывна, но ее первая производная может претерпевать разрывы в узлах сопряжений.

Чтобы избежать этого, выберем величины из условия непрерывности производной сплайна на всем отрезке Приравняв односторонние производные сплайна

в точках получим уравнения

Таким образом, для определения значений получено линейных уравнений. Еще два уравнения дают краевые условия

откуда получаем

В матричной записи система имеет вид где

где

(см. скан)

Для построения фундаментальных сплайнов удобно представить вектор как произведение вектора определяющих значений на матрицу , которая имеет вид

Определяющими значениями фундаментальных сплайнов являются векторы у которых координаты равны нулю, а значение одной координаты — единице. Положение единицы в векторе определяется номером фундаментального сплайна. При надлежащем упорядочении фундаментальных сплайнов матрица определяющих значений оказывается единичной. Ниже указано такое упорядочение:

Матрица значений вторых производных фундаментальных сплайнов

определяется как решение матричного уравнения

Зная матрицу легко вычислить значения фундаментальных сплайнов. Они вычисляются по формулам: для

Матрицу можно вычислить аналитически:

Для этого достаточно найти матрицу

Обозначим через определитель порядка

Раскладывая этот определитель по алгебраическим дополнениям элементов последнего столбца, получим рекуррентную формулу для вычисления определителя

Вычислим теперь элементы матрицы используя алгебраические дополнения матрицы выраженные

с помощью определителей Получаем:

Схему применимости формул удобно представить графически (рис. 22).

Итак, для того чтобы найти систему кубических фундаментальных сплайнов с сопряжениями, надо:

Рис. 22.

1) вычислить величины

2) по формулам получить матрицу размерности ;

3) вычислить матрицу М (размерности , умножив матрицу на (матрица имеет размерность

4) по формулам (12.14) получить фундаментальные сплайны.

Для того чтобы сохранить единство обозначений, используем для системы фундаментальных сплайнов те же обозначения, что и для системы полиномов, т. е. будем считать, что

В этих обозначениях задача отыскания кубического сплайна, минимизирующего эмпирический риск (12.12), записывается в виде (12.9). А ее решение — определение

вектора а коэффициентов разложения искомой функции по системе фундаментальных сплайнов, определяется формулой (12.10). Таким образом, после того как фундаментальная система сплайнов построена, вычисление сплайна, минимизирующего эмпирический риск, проводится точно по той же схеме, по которой определяются коэффициенты линейной (по параметрам а) регрессии.