ПРИЛОЖЕНИЕ К ГЛАВЕ VI. ТЕОРИЯ РАВНОМЕРНОЙ СХОДИМОСТИ ЧАСТОТ К ВЕРОЯТНОСТЯМ
§ П.1. Достаточные условия равномерной сходимости частот к вероятностям
Согласно классической теореме Бернулли частота появления некоторого события А сходится (по вероятности) в последовательности независимых испытаний к вероятности этого события. Часто, однако, возникает необходимость судить одновременно о вероятностях целого класса событий S по одной и той же выборке. При этом требуется, чтобы частоты сходились к вероятностям равномерно по всем событиям класса S. Точнее, требуется, чтобы вероятность того, что максимальное по классу уклонение частоты от вероятности превзойдет заданную сколь угодно малую положительную константу, стремилась к нулю при неограниченном увеличении числа испытаний.
Оказывается, что даже в простейших примерах равномерная сходимость может не иметь места. Поэтому нужен критерий, позволяющий судить, есть ли такая сходимость.
Пусть X — множество элементарных событий, на котором задана вероятностная мера Пусть — некоторая совокупность случайных событий, т. е. подмножеств пространства, измеримых относительно меры включается в -алгебру случайных событий, но не обязательно совпадает с ней). Обозначим через пространство случайных независимых выборок из X длины