§ 6. Методы решения некорректных задач измерения

В этом параграфе мы приведем примеры использования метода упорядоченной минимизации риска для восстановления решения линейного операторного уравнения

по эмпирическим данным — случайная величина, распределенная по равномерному закону на Восстановление проводится в классе сплайнов.

В главе XII будет показано, что любой сплайн порядка сопряжениями представим как линейная комбинация системы фундаментальных сплайнов степени сопряжениями

Иначе говоря, справедливо

где коэффициенты, задающие конкретные кусочно-полиномиальные приближения в классе сплайнов степени сопряжениями,

При построении сплайн-приближения решения уравнения (9.68) проблема состоит в том, чтобы определить, во-первых, подходящее число точек сопряжения сплайна, а во-вторых, коэффициенты разложения

Рассмотрим образы фундаментальной системы (9.69) в

и примем в качестве решения операторного уравнения (9.68) такой сплайн а, образ которого гарантирует малую величину риску:

Согласно теореме 7.6 с вероятностью одновременно для всех сплайнов с сопряжениями выполнится неравенство

В качестве решения операторного уравнения выберем такую сплайн-функцию (т. е. такое число сопряжений и такое а), для которой достигается минимум правой части этого неравенства. Несмотря на то, что сходимость приближений, найденных методом упорядоченной минимизации риска, к решению операторного уравнения доказана лишь для разложения по собственным функциям, примеры успешного решения практических задач интерпретации результатов косвенных экспериментов в классе сплайнов позволяют рекомендовать и это разложение для решения интегральных уравнений Фредгольма I рода.

1. Задача ядерной спектроскопии. На вход измерительного прибора поступает энергия, распределенная по частоте частота). На выходе прибора наблюдается экспериментальный спектр Связь между входом и выходом задается уравнением

где границы излучаемого спектра

Требуется по наблюдениям восстановить

На рис. 8 показаны измерения функции (каждый второй замер). Всего было проведено 40 измерений. Измерения осуществлялись с равномерно распределенной помехой, заданной на интервале .

Рис. 8.

Величина с бралась равной 2% от максимума

На рис. 9 показан истинный спектр (жирная линия) и сплайн-приближение, полученное методом упорядоченной минимизации риска.

2. Обратная задача гравиметрии. Интегральное уравнение

описывает аномалию силы тяжести на поверхности Земли, созданную массой плотности отделенную от окружающей среды с плотностью границей глубина залегания Массы, вызывающей аномалию. Требуется по измерениям аномалий восстановить границу

На рис. 10 показано истинное (жирная линия) и полученное методом упорядоченной минимизации риска сплайн-приближение (тонкая

линия). Решение получено по 40 измерениям, проводимым с равномерной помехой, амплитуда которой составила 12% от максимума

Рис. 9.

Рис. 10.

3. Задача восстановления производных. Задача восстановления производной в классе непрерывных функций сводится к решению следующего интегрального уравнения:

Ниже приведены решения этой задачи для в случае когда функция измерена в 40 точках.

Рис. 11.

Рис. 12.

На рис. 11 показана функция (жирная линия) и ее измерения (показан каждый второй замер функции). Измерения функции

проводились с помехой, распределенной согласно равномерному закону с амплитудой 5% от максимума

Рис. 13.

Рис. 14.

На рис. 12, 13, 14 показаны первая, вторая и третья производные функции (жирные линии) и соответствующие сплайн-приближения, найденные методом упорядоченной минимизации риска Примеры решались с помощью алгоритма 12-3, приведенного в главе XII.