§ П.4. Вывод достаточных условий
Справедлива
Теорема 
Вероятность того, что хотя бы для одного события из класса S частота уклонится от соответствующей вероятности в эксперименте длины I более чем на х, удовлетворяет неравенству
Следствие. Для того чтобы частоты событий класса S сходились (по вероятности) к соответствующим вероятностям равномерно по классу 
достаточно существование такого конечного 
что при 
Доказательство. В силу основной леммы достаточно оценить величину
Рассмотрим отображение пространства 
на себя, получаемое некоторой перестановкой Т элементов
последовательности 
В силу симметрии определения меры имеет место следующее равенство:
для любой интегрируемой функции 
Поэтому
где сумма берется по всем 
перестановкам.
Заметим прежде всего, что
Очевидно, что если два множества 
индуцируют на выборке 
одну и ту же подвыборку, то
и, следовательно,
для любой перестановки 
Иными словами, если два события эквивалентны относительно выборки 
то уклонения частот для этих событий одинаковы при всех перестановках 
Поэтому, если из каждого класса эквивалентности взять по одному множеству и образовать конечную систему 
то
Число событий в системе S конечно и было обозначено через 
Поэтому, заменяя операцию 
суммированием, получаем
Эти соотношения позволяют оценить подынтегральное выражение в 
Выражение в квадратных скобках означает отношение числа порядков в выборке (при фиксированном составе), для которых
к общему числу перестановок. Легко видеть, что оно равно
где 
равно числу элементов выборки 
принадлежащих А.
В § П.5 мы оценим величину
Таким образом,
Подставляя эту оценку в интеграл 
получим
откуда в силу основной леммы
Теорема доказана.
Доказательство следствия. Пусть существует такое 
что при 
Тогда, очевидно,
т. е. имеет место равномерная сходимость по вероятности. Полученное достаточное условие не зависит от свойств распределения (единственное требование — измеримость функций 
а зависит от внутренних свойств системы S.
Замечание. Как было доказано в § П.2, если только функция 
не равна тождественно 21, то существует 
такое, что при 
Поэтому достаточное условие выполняется всегда, когда
