§ 5. Равномерная ограниченность отношения моментов

Пусть теперь выполнены условия

т. е. для всякого фиксированного отношение среднего порядка случайной величины

к среднему первого порядка не превосходит

Выполнение условия (7.15) явится тем основным требованием, которое мы будем предъявлять при решении задач восстановления зависимостей и решении некорректных задач.

Для это требование эквивалентно требованию равномерной ограниченности относительной величины дисперсии, рассмотренной в § 2 гл. II, причем число та, ограничивающее относительную величину дисперсии, связано с числом ограничивающим относительную величину среднего второго порядка, соотношением

Условие (7.15) является достаточно слабым. Так все параметрические схемы восстановления регрессии, рассмотренные в главах IV и V, удовлетворяют условию (7.15), причем заключено в узких пределах (см. § 3 гл. II).

Ниже мы покажем, что если наряду с (7.15) выполнится одно из следующих трех условий:

1) множество состоит из конечного числа элементов,

2) множество может быть покрыто конечной -сетью,

3) множество функций имеет конечную емкость, то метод минимизации эмпирического риска позволяет решать задачи восстановления зависимостей.

Итак, оценим скорость равномерной сходимости средних к математическим ожиданиям в условиях, когда выполняется (7.15), а класс функций имеет ограниченную емкостную характеристику в любом из рассмотренных определений.