1.5. Распределенные гармонические источники и угловой спектр плоских волн

Для описания поля излучения (акустического или электромагнитного) широко применяется понятие диаграммы направленности, описываемой как функция какой-либо количественной характеристики поля в полярных координатах относительно некоторой фиксированной точки источника излучения. Однако, при более глубоком рассмотрении оказывается, что эта характеристика полностью описывает поле лишь на расстояниях от источника, много больших его размеров и длины волны в среде. В медицинских ультразвуковых приборах зачастую важно не накладывать таких ограничений, и необходим более универсальный подход. Это возможно, если принять [4], что любое произвольное акустическое (или электромагнитное) возмущение на плоской апертуре порождает в полупространстве излучения бесконечное множество плоских волн, направления распространения которых заполняют телесный угол , а амплитуды и фазы этих волн, зависящие от направления их распространения, образуют так называемый «угловой спектр плоских волн». В выборе плоских волн нет ничего особенного с физической точки зрения — это результат выбора декартовой системы координат для написания основных уравнений. Другие (криволинейные) системы координат привели бы к другим формам элементарных волн.

Для наших целей важны два свойства такого формализма. Во-первых, преодолевается ограничение, налагаемое при использовании диаграммы направленности в полярной системе координат, а именно определение одной из точек как центра источника излучения. Во-вторых, угловой спектр представляется как преобразование Фурье начального распределения возмущения по апертуре. Последнее свойство, имеющее очевидную практическую ценность для вычислений, применимо к диаграмме в полярных координатах лишь в приближенном и ограниченном смысле.

В этом разделе, следуя в основном работам [14, 32], будут выведены уравнения, описывающие непрерывное излучение

распределенного источника в безграничное полупространство. Будут рассмотрены круглый и прямоугольный поршневые излучатели, расположенные в плоскости экрана. Для определения углового спектра плоской волны будет использовано преобразование Фурье. В процессе вывода станет очевидна роль этих спектров в получении пространственных распределений давления и скорости частиц.

Амплитуда и угловая плотность плоских волн в спектре зависят от геометрии источника и амплитуды его возбуждения. Характеристика направленности в дальнем поле источника связана с амплитудным распределением по его апертуре таким же образом, как непрерывный спектр связан с конечным временным рядом.