11.5. Анализ спектра доплеровского сигнала

Как уже отмечалось, в доплеровский сигнал вносят вклад все проходящие через пучок линии тока в исследуемом сосуде. Однако спектр частот доплеровского сигнала определяется не только скоростями на этих линиях тока, но и характеристиками падающего и

отраженного пучков. Чтобы оценить степень этого влияния, необходимо в общем виде определить вид доплеровского спектра.

Первые расчеты исходили из предположения о независимом рассеянии ультразвука на отдельных форменных элементах крови [9, 19]. Однако, как известно (гл. 6), среднее расстояние между эритроцитами довольно мало (объемная концентрация в норме — 45%) и, как показано в работе [37], обратное рассеяние от них при такой концентрации составляет около 7% от расчетной величины для независимых элементов. Приближение независимых рассеивателей было развито в работе [3], где взаимодействие между ними было учтено тем, что каждый эритроцит исключает остальные из занимаемого им пространства. Однако эта теория также расходится с экспериментом. Трудности можно преодолеть, если учесть, что на длине волны ультразвука укладывается очень много эритроцитов, и кровь рассматривать как сплошную среду, в которой происходит рассеяние на флуктуациях плотности и сжимаемости [21], вызванных случайными изменениями концентрации (и, возможно, ориентации) эритроцитов. Анализ рассеяния ультразвука на движущейся крови как слошной среде выполнен в работе [2]. В дальнейшем при исследовании доплеровского спектра нами будет использован и развит этот метод. Вычисления будут выполняться в комплексной форме. На практике действительную и мнимую (синфазную и квадратурную) составляющие доплеровского сигнала, как было показано ранее, можно получить с помощью двух демодуляторов с синусоидальным и косинусоидальными опорными сигналами.

11.5.1. НЕПРЕРЫВНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ

Рассеянная из области волна звукового давления (рассеиватели — эритроциты) для случая монохроматической падающей волны записывается в виде [27]

где

есть падающая на область волна,

k — волновое число, определены в гл. 6.

Первый член подынтегрального выражения (11.10) имеет вид волны давления от монополя, а второй — от диполя [27]. Следовательно, приемный преобразователь «видит» монопольное и дипольное излучение из области Рассмотрим теперь влияние этих двух волн давления на электрический сигнал приемного преобразователя.

Монополь производительностью это изотропный излучатель и может рассматриваться как сфера пренебрежимо малого радиуса а так что радиальная скорость по его поверхности есть

а давление в точке от монополя с координатами равно

Следовательно, при плотности распределения монополей в области получаем волну давления

Волна давления от диполя производительностью будет

и для плотности распределения диполей в области имеем

Диполь можно рассматривать как два монополя производительностью вектор направлен от отрицательного монополя к положительному

Это можно показать, рассматривая сумму давлений от двух таких монополей:

Определим характеристику чувствительности приемного преобразователя как чувствительность к излучению монополя единичной производительности.

Напряжение на выходе преобразователя (отклик на излучение монополя производительностью , находящегося в точке

Тогда отклик приемного преобразователя на распределение монополей с плотностью в области представляется в виде

Отклик на распределение диполей с плотностью получаем из (11.18), (11.19) и (11.21):

Из сравнения (11.10), (11.15) и (11.17) видно, что члены выражения (11.10) можно интерпретировать как волны давления от распределений монополей и диполей, если положить

Подставляя эти выражения в (11.21) и (11.22) и интегрируя, получаем напряжение на выходе приемного преобразователя — отклик на волны давления от рассеивателей (эритроцитов), находящихся в области

Эту формулу можно переписать в общем виде, так как известно, что вид функции чувствительности монополя совпадает с общим выражением для поля давления излучателя — это следует из принципа взаимности [27]. Обычно далее вводится упрощение — рассматривается дальняя зона, или плоские волны. При этом

где действительная функция, волновой вектор поля излучателя, постоянная. Такой же вид имеет и Однако доплеровские ультразвуковые приборы часто применяют для исследования кровеносных сосудов в ближнем поле излучателя, где могут стать существенными отклонения от модели плоских волн [1, 36]. Часто применяются и фокусирующие излучатели. Это означает, что направление волнового вектора меняется вдоль оси пучка; учтем это, введя зависимость волнового вектора от координат. Тогда в общем виде

где для плоской волны (то же и для Отметим, что размерности не совпадают по определению (то же для

Два предыдущих уравнения можно переписать в виде

где

Величины волновые векторы падающего и рассеянного полей в приближении плоских волн; разности фаз между истинными полями и полями, полученными в приближении плоских волн. Таким образом,

представляют собой флуктуации комплексной амплитуды, учитывающие изменения направления волнового вектора.

Чтобы вычислить дипольный член в подынтегральном выражении (11.25), необходимо знать градиенты

Из выражения (11.28) получаем

где

представляет собой малую поправку к в амплитудном члене (11.35), вызванную изменением направления волнового вектора и изменением

Аналогичный вид имеет и Тогда

где

— волновой вектор, направленный по биссектрисе угла между осями падающего и отраженного пучков,

где угол между осями обоих пучков,

Подставляя (11.29), (11.30) и (11.37) в (11.25), получаем

где

Предположим теперь, что кровь движется, а зависят от времени. Зависимость этих величин от времени можно ввести на этом этапе, так как скорость кровотока много меньше скорости звука, поэтому изменяются незначительно в процессе рассеяния.

После демодуляции остается огибающая принятого сигнала, имеющая вид (см. (11.42)):

Автокорреляционная функция доплеровского сигнала имеет вид

где черта означает усреднение по времени, звездочка — комплексное сопряжение, а

Предположим, что статистические свойства не зависят от времени и координат (справедливость этого предположения мы обсудим ниже), поэтому усреднение по времени можно заменить усреднением по ансамблю. Кроме того, в плотном случайном скоплении эритроцитов, каждый из которых большую часть времени взаимодействует лишь с соседними, радиус корреляции (и, следовательно, функции порядка диаметра эритроцита, т. е. много меньше характерного масштаба изменений остальных членов подынтегрального выражения (11.45). При этом можно представить в виде дельта-функции с объемом порядка объема эритроцита.

Наконец, так как диффузия, изменяющая распределение эритроцитов, проявляется при скоростях, много меньших рассматриваемых скоростей кровотока [9], каждый элементарный объем крови остается неизменным во время прохождения через пучок. Тогда объем, координата которого в момент времени была в момент времени окажется в точке где скорость кровотока.

Отсюда следует, что уравнение (11.46) можно записать в виде

Подставляя его в (11.45) и интегрируя по получаем

Отметим, что предположение о независимости статистических свойств привело к независимости автокорреляционной функции от

Вычислим доплеровский спектр мощности как преобразование Фурье от автокорреляционной функции:

Ограничимся теперь рассмотрением течения с параллельными линиями тока и выберем декартову систему координат так, чтобы вектор скорости был параллелен оси х. Тогда скорость будет зависеть только от у и z. Уравнение (11.49) преобразуется к виду

где - х-компонента волнового вектора . Отметим, что индекс «0» у координат опущен, т. е.

Разложим спектр на составляющие принадлежащие различным линиям тока, и получим

где границы области рассеяния в направлениях у и z, определяемые размерами кровеносного сосуда и шириной пучка (или только сосудом, если пучок его перекрывает). Под шириной пучка здесь подразумевается расстояние между точками, в которых становится пренебрежимо малой. Отсюда

Отметим, что пределы в интеграле по можно заменить на так как ось сосуда параллельна оси х и размер рассеивающей области в этом направлении ограничивается функцией

Чтобы привести интеграл (11.52) к удобному виду, умножим подынтегральное выражение на сделаем замену переменной и умножим на Тогда

Чтобы далее не сохранять слишком много членов, заметим, что это выражение можно представить как сумму трех интегралов, содержащих Первый из них имеет вид

или

где означает преобразование Фурье. Это выражение можно переписать в виде

где

— доплеровская частота в приближении плоских волн, в — угол между векторами скорости и биссектрисой угла между падающим и отраженным пучками.

Аналогично из (11.53) для интеграла, содержащего имеем

где взаимная спектральная плотность энергии:

Здесь разложено на составляющие с использованием выражения (11.43) и учтено известное свойство [25]

Интеграл из (11.53), содержащий

где

Объединяя (11.57), (11.59) и (11.61), получаем

Зачастую можно пренебречь составляющими спектра, содержащими малую величину а. Главный член в выражении для спектра равен

где

Если в области пересечения сосуда с пучком постоянны радиус корреляции среднеквадратичная плотность и сжимаемость крови, то С — постоянный коэффициент. Это условие будет исследовано далее.

Из уравнений видно, что это спектр сигнала

спектр сигнала сдвинутого по частоте на

Раскладывая на амплитудные и фазовые множители (см. уравнения (11.33), (11.34) и (11.39)) и приводя подобные члены в выражениях для падающего и отраженного пучков, получаем

где

Комплексная функция чувствительности

характеризует изменение отклонений амплитуды и фазы от их значений в приближении плоских волн для случая точечного рассеивателя.

плоской волны. В этом случае

где разность между х-компонентой волнового вектора в точке и аналогичной величиной, полученной в приближении плоских волн, Если, кроме того, представить в виде степенного ряда, в котором достаточно учесть лишь члены нулевого и первого порядков, т. е.

то справедливо соотношение

Таким образом, если в центре пучка волновой вектор совпадает с приближением плоской волны и линия тока проходит через центр (ось) пучка, то Если же линия тока не проходит через ось пучка, то величина может быть достаточно большой, а содержащий ее член будет представлять смещение частоты доплеровского сигнала в центре линии тока в диапазоне от до В обоих случаях временная зависимость, определяющая форму спектра (согласно (11.73) и (11.76)), будет иметь вид

Если чувствительность вдоль линии тока можно аппроксимировать гауссовой функцией, т. е. представить ее как

то временная зависимость примет вид

Используя результаты из теории радиолокации [41], находим спектр мощности для этого сигнала:

где

Таким образом, спектр имеет гауссову форму с шириной

Первый член в скобках определяет времяпролетное уширение, второй — уширение из-за расходимости пучка!).

Если пучок широкий и времяпролетным уширением можно пренебречь по сравнению с уширением из-за расходимости, то можно воспользоваться общим правилом [41]: спектр функции где нелинейная функция, при ширине много большей ширины спектра модуля функции можно представить приближенно в виде

где

Отождествляя получаем

Следует особо подчеркнуть, что вышеприведенные результаты справедливы лишь в некоторых частных случаях.