1.2. Основные соотношения и определения линейной акустики

Приведенные ниже уравнения могут служить отправной точкой при решении тех задач линейной акустики, в которых пренебрегают потерями энергии. Предполагается, что в жидкости малы отклонения от состояния равновесия. Стационарные потоки из рассмотрения исключаются. Запишем уравнение неразрывности

и уравнение движения

В этих уравнениях линейное возмущение давления, связанное с возмущением скорости частицы с — скорость звука; плотность невозмущенной жидкости; независимая временная координата. Символ V — обыкновенный векторный дифференциальный оператор в обозначениях Гиббса. Например, в декартовых координатах

Однако обозначения Гиббса универсальны, и аналогичные выражения существуют также в криволинейной системе координат.

Уравнение неразрывности — выражение закона сохранения массы для сплошных сред, а уравнения движения — выражение второго закона Ньютона для этих сред.

Не меняя физического смысла уравнений (1.1) и (1.2), число переменных можно уменьшить, введя обозначения

Символ используется для обозначения того, что правая часть выражения есть определение левой. Уравнения (1.5) и (1.6) — это уравнения (1.1) и (1.2) в координатах и и

Кажущаяся симметрия и и в уравнениях (1.5) и (1.6) может затенить то, что в действительности (1.6) содержит три уравнения. Итак, выражения (1.5) и (1.6) составляют систему четырех уравнений с четырьмя неизвестными.

Здесь удобно ввести скалярный потенциал скорости определяемый равенствами

причем уравнение (1.6) сводится к тождеству сменой порядка дифференцирования по времени и пространству. Уравнение (1.5) становится волновым уравнением для

где лапласиан из декартовых координатах определяется выражением

Зная решение (1.9) для из уравнений (1,7) и (1.8) можно определить и и. Решения для зависят от граничных и начальных условий.

Задачи линейной акустики можно также представить в виде волнового уравнения для давления, не рассматривая потенциал скорости. Это волновое уравнение получается при дифференцировании по уравнения (1.5) и умножении обеих частей (1.6) на дифференциальный оператор

Изменяя порядок дифференцирования по времени и пространству и подставляя в (1.6) выражение для получим волновое уравнение для давления:

Уравнения (1.11) и (1.6) образуют систему, эквивалентную уравнениям (1.7) — (1.9).

Так как большая часть аппаратуры, используемой в медицинской диагностике, основана на принципах импульсной эхо-локации, представляет интерес математическое описание нестационарных звуковых полей. Непосредственно из уравнения (1.7) следует важный вывод о поведении коротких импульсов типа ударной волны в линейных однородных средах без потерь. Для этого запишем

уравнение (1.7) в интегральной форме:

Для случая короткого импульса величина в любой точке покоящейся жидкости до прихода импульса равна величине в покоящейся жидкости после прохождения импульса Тогда

Из уравнения (1.13) видно, что среднее по времени давление для всего импульса должно равняться нулю. Это согласуется с наблюдением, что волн только сжатия или только разрежения не существует.

Предыдущие уравнения и условия указывают метод определения давления и скорости частиц в акустическом поле как функций пространства и времени. Связь между этими двумя переменными акустического поля и акустической мощностью (интенсивностью) мы объясним чуть позже. Само объяснение этих соотношений следует из уравнений (1.5) и (1.6) после некоторых алгебраических преобразований и применения теоремы Гаусса (теоремы о дивергенции).

Заметим, что уравнения (1.5) и (1.6) умножением на соответствующие переменные можно привести к виду

Отметим также следующее тождество:

Объединяя уравнения (1.14), (1.15) и (1.16), получаем

Используем теперь теорему Гаусса, чтобы получить интегральную форму уравнения (1.17) для объема V без источников и стоков, ограниченного поверхностью

В обозначениях (1.1) и (1.2) получаем

Из соображений размерности видно, что

где размерности массы, длины и времени, а квадратные скобки обозначают размерность заключенного в них выражения.

Таким образом, уравнение (1.19) означает, что скорость потери энергии в объеме равна интегралу проекции на внешнюю нормаль по всей поверхности, ограничивающей этот объем. Так как мощность — это энергия в единицу времени, имеет размерность мощности на единицу площади (или интенсивности).

Действительно, акустическая интенсивность определяется как

а плотность акустической энергии Е, связанная с уравнениями (1.1) и (1.2), как

Можно глубже исследовать выражения для , включая члены высших порядков в разложении существенно нелинейных уравнений гидродинамики (см. разд. 1.8).

Основы изложенного здесь материала можно найти в работах [1, 8, 16, 21, 25].