4.3. Анализ механизмов поглощения продольных ультразвуковых волн

Вопросам поглощения и дисперсии ультразвука в биологических средах посвящен целый ряд обстоятельных обзорных работ. Среди них следует выделить работы Карстенсена [30], Данна и др. [53], Данна и О’Брайена [56], Фрая и Данна [75], Джонстона и др. [107], Уэллса [203] и Вудкока [207]. Однако основные теоретические положения, хотя они и не касались непосредственно биологических сред, были разработаны еще до появления этих обзоров (см., например, работы Маркхема и др. [143], Герцфельда и Литовица [97]).

Заслуживает также упоминания монография Матесона [145]. Приведенный в данной главе анализ во многом базируется на указанной литературе и содержит лишь важнейшие положения теории. попытке достичь возможно более современного представления в анализ также включено несколько работ последних лет.

4.3.1. ОДНОРОДНЫЕ ВОДОПОДОБНЫЕ СРЕДЫ

Поглощение энергии акустической волны приводит к ее необратимому преобразованию в тепло. Это происходит, если периодические изменения плотности среды не совпадают по фазе с колебаниями звукового давления. Применительно к «однородным» средам (например, в растворах макромолекул) известно, что механизмы, ответственные за подобное преобразование энергии, являются релаксационными. Следует отметить, что даже в случае самых простых сред нет полного понимания действия этих механизмов, хотя установлено, что они возникают в результате временного запаздывания в нарушении физического или химического равновесия под действием периодических изменений параметров волны. Можно считать, что в произвольный момент времени полная энергия волны распределена по различным формам энергии, к которым относятся энергия поступательного движения, колебательная энергия и энергия структурной перестройки молекул, колебательные и структурные состояния кристаллической решетки. С течением времени происходит перераспределение энергии, причем оно происходит с конечной скоростью, определяемой процессами обмена, присущими данной среде. Процессы обмена энергией сами по себе представляют определенные механизмы поглощения, тип и число которых могут существенно меняться при переходе от одной жидкости к другой.

Общее выражение, характеризующее поглощение звука на частоте (длина волны X) при одиночном процессе релаксации, имеет вид

где константа (иногда называемая

Рис. 4.1. Поглощение (а) и дисперсия скорости звука (б) в случае одиночного релаксационного процесса с постоянной времени в — поглощение звука в случае комбинированного действия одиночного релаксационного процесса и процессов классического поглощения; сравнительное действие процесса вязкого относительного движения и релаксационного процесса.

амплитудой релаксации), определяемая максимальным значением произведения длины волны на коэффициент поглощения или поглощения за период скоростью звука с и частотой релаксации Рис. 4.1, а помогает понять смысл этого уравнения. На низких частотах параметры волны изменяются достаточно медленно, так что процесс перераспределения энергии почти не нарушается, и энергия других видов передается обратно в волну лишь с незначительным отклонением по фазе, при этом поглощение мало. По мере повышения частоты обратная передача энергии сопровождается все

возрастающим отклонением по фазе от фазы волны. Поглощение растет до тех пор, пока на частотах, намного превышающих частоту релаксации, акустическая волна в силу малости временных интервалов уже перестает полностью нарушать термодинамическое равновесие среды, и наблюдается лишь незначительная передача энергии поступательного движения волны во внутренние степени свободы. Произведение длины волны на коэффициент поглощения достигает максимума при

При анализе экспериментально полученных зависимостей поглощения от частоты необходимо учитывать целый ряд релаксационных процессов, вклад которых суммируется и добавляется к так называемому коэффициенту классического поглощения, вычисленному Стоксом и Кирхгофом более ста лет назад. Этот результат записывается в виде выражения

где коэффициент сдвиговой вязкости, у — отношение удельных теплоемкостей, теплоемкость при постоянном давлении и X — коэффициент теплопроводности. Величину иногда называют независимым от частоты коэффициентом поглощения.

Первый член в квадратных скобках характеризует вклады в поглощение, обусловленные тем, что молекулы среды перестраиваются в различные локальные структуры за конечное время, определяемое сдвиговой вязкостью. Член с теплопроводностью, который обычно пренебрежимо мал (за исключением расплавленных металлов), описывает потери энергии за счет возникновения теплового потока от областей с высоким звуковым давлением к областям с низким давлением. В случае многокомпонентных жидких смесей возникает, вообще говоря, еще один механизм поглощения, заключающийся в диффузии молекул различного типа вдоль градиентов концентрации, образующихся под влиянием звуковой волны. Однако в реальных случаях вклад этого механизма совершенно ничтожен и в уравнении (4.12) он не учитывается. Вообще все эти вклады описываются более точными релаксационными уравнениями, которые для частот, лежащих ниже соответствующих частот релаксации, сводятся к простым квадратичным зависимостям от частоты, характерным для классических механизмов. Поэтому механизмы поглощения часто, хотя и не совсем корректно, разделяются на «классические» и «релаксационные». Недавно на необоснованность

такого разделения указывали Сегал и Гринлиф [190], исследовавшие частотные зависимости поглощения ультразвука в жидкостях и биологических тканях (см. разд. 4.5) в рамках модели, целиком базирующейся на анализе фазовых соотношений между акустическим давлением и колебаниями температуры при наличии релаксационного процесса того или иного типа.

В уравнении (4.12) величины являются константами для каждого рассматриваемого процесса и одновременно представляют собой функции распределения по частоте и температуре. Вид этих функций при заданной температуре выбирается таким образом, чтобы результирующая зависимость была наилучшей аппроксимацией экспериментальных данных. На рис. 4,1, в схематически показана зависимость, определяемая уравнением (4.12), для одного значения Отклонение от линейности графика зависимости от явно свидетельствует о наличии дополнительных механизмов релаксации.

В случае достаточно сложных биологических сред и мягких тканей угловой коэффициент зависимости от изменяется в пределах от 1 до 1.4 в частотном диапазоне Для согласования выражения (4.12) с экспериментальными данными необходимо выбрать конкретный вид соответствующей функции распределения. Часто в качестве функции распределения используется так называемое логарифмическое квадратичное «окно», обеспечивающее информацию об интервале энергий активации при действии данных процессов релаксации. Следует отметить, что в случае биологических сред заранее неизвестно, будет ли дискретное число процессов релаксации вносить вклад в суммарное поглощение или же распределение релаксационных частот является непрерывной функцией частоты. В последнем случае необходимо перейти в уравнении (4.12) от суммирования к интегрированию.

Разность между измеренным коэффициентом поглощения и классическим коэффициентом поглощения принято называть «избыточным» поглощением (его не следует путать с «избыточным» коэффициентом поглощения, рассмотренным в разд. 4.2). Это избыточное поглощение обусловлено дополнительными релаксационными процессами, связанными с действием объемной или второй вязкости среды В своих первоначальных работах Стокс

полагал, что величина равна нулю (просто в силу того, что не видел способов ее измерения). Эта величина входит в классическое выражение (4.12) как добавка к сдвиговой вязкости. Другими словами, в квадратных скобках вместо члена должна стоять сумма

Обычно процессы молекулярной релаксации разделяются на два типа — процессы термической и структурной релаксации. Подробное обсуждение причин такого разделения выходит за рамки нашего краткого рассмотрения. Следует отметить, что эти релаксационные механизмы характеризуются важными различиями, например, в отношении зависимости от температуры. Этот вопрос будет рассмотрен в дальнейшем. Структурные механизмы, рассмотренные Литовицем и Девисом [134], включают в себя внутримолекулярные перегруппировки и переходы между различными равновесными состояниями. Эти механизмы преобладают в ассоциированных жидкостях, таких как вода и спирты. Подобные жидкости состоят из полярных молекул и характеризуются кристаллической структурой ближнего порядка. Структурная релаксация возникает в ответ на изменения напряжения (или давления) в акустической волне. Процессы, обусловленные действием сдвиговой вязкости, являются характерными примерами структурной релаксации. Процессы термической релаксации, обсуждавшиеся Лэмбом [125], наблюдаются в слабо ассоциированных либо неассоциированных жидкостях типа бензола или дисульфида углерода, в которых тепловые флуктуации в волне нарушают внутримолекулярное (т. е. химическое) равновесие. Термическими процессами являются внутримолекулярные движения, связанные с поворотной изомерией, а также взаимодействия между поступательными и внутренними колебательными степенями свободы.

В пределах релаксационной области акустического частотного спектра наблюдается также зависимость скорости звука от частоты. Как и в случае одиночного релаксационного процесса, дисперсия скорости характеризуется зависимостью, показанной на рис. 4.1,б. В однородных средах такая дисперсия скорости явно указывает на влияние дополнительной релаксации. В частотной области дисперсии относительное приращение скорости звука и максимум поглощения, обусловленный релаксационным механизмом, приближенно связаны соотношением

На практике максимальное относительное изменение скорости звука составляет менее 1%, поэтому для получения количественных данных требуется проводить очень точные измерения. Следует также отметить, что в области релаксационных частот зависимость с от является приблизительно линейной.