1.5.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УГЛОВОГО СПЕКТРА ПЛОСКИХ ВОЛН

Начнем с повторения определений: Относительно потенциала скорости записывается система уравнений, которая может быть разрешена относительно давления и скорости частиц

Если а — акустически активная часть плоской границы полупространства, направление, нормальное к этой границе, то физическая интуиция подсказывает следующие граничные условия для акустически пассивной части (т. е. ):

Эти условия можно записать для потенциала скорости в виде

и

Кроме того, необходимо, чтобы потенциал был всюду конечным. Можно разделить переменные, полагая

Подстановка (1.119) в (1.112) после некоторых алгебраических преобразований дает

Каждый член в (1.120) зависит лишь от одной из независимых переменных следовательно, каждый член в отдельности есть постоянная.

Например, рассмотрим член, зависящий от Если то получаем периодическое решение для

где постоянные интегрирования.

Обобщение дает

Отсюда видно, что зависимость от одной из величин к можно исключить, используя (1.122):

В случае гармонических источников зависимость от времени выбирается в виде Отметим, что при таком выборе При этом путем подстановки убеждаемся, что

Решение (1.124) имеет вид

где .

Из (1.125) можно получить выражения для компонент скорости частиц, например

Чтобы продвинуться дальше, введем -функцию Дирака. Это облегчит работу с уравнениями (1.126) и (1.127). -функция Дирака является обобщенной и может быть представлена в одной из следующих форм:

Следующее соотношение показывает свойство -функции, пригодное для обращения двумерных фурье-образов:

Здесь -функция используется для получения явных выражений для из выражений для составляющих . Обращение (1.126) и (1.127) с помощью (1.128) и (1.129) дает

Складывая и вычитая эти уравнения, получаем

В отсутствие падающей волны Это подтверждается отождествлением с плосковолновым спектром излучаемых волн. При этом

Если — акустически активная поверхность, о есть ее дополнение до бесконечной плоской границы полупространства, то для абсолютно жесткой поверхности

Для движения поршня на плоской поверхности с активной областью и жесткой областью уравнение (1.136) преобразуется к виду

Очевидно, решение сводится к оценке интеграла в (1.137). Рассмотрим, например, акустически активную область с площадью

Этот результат для прямоугольного поршня можно преобразовать в выражение для круглого поршня следующей подстановкой:

Следовательно, представляется в виде

Прежде чем интегрировать по и 0, необходимо определить множитель интегрирования, задаваемый якобианом

Для дифференциала площади теперь возможна следующая подстановка:

Следовательно, для круглого поршня

Так как

уравнение (1.143) сводится к

Существует и другое тождество:

Тогда из (1.145) и (1.146)

Таким образом, для плоских прямоугольного и круглого поршней в жестком плоском экране будет соответственно

и

Итак, определены явные выражения для , которые можно использовать для получения , подстановкой в (1.125) с условием

Например, для прямоугольного поршня в бесконечном экране

Для круглого поршня

где

Выражения для компонент скорости частиц естественно следуют из (1.126) и (1.127) при тех же условиях, при которых были получены (1.150) и (1.151). И наоборот, можно работать с уравнениями (1.150) и (1.151), используя (1.114) для получения а также остальных составляющих скорости частиц.