1.3.3. ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ СИММЕТРИЯ

Упрощение уравнения (1.26) для случая цилиндрических волн с круговой симметрией дает

Уравнение (1.51) можно переписать в виде, проясняющем математическую связь между цилиндрическими волнами, имеющими круговую симметрию, и уже рассмотренными видами волн. Это преобразование основано на следующем тождестве:

Подставляя (1.52) в (1.51), получаем

Для больших уравнение (1.53) приводится к виду

Как видно, уравнение (1.54) аналогично уравнению, полученному для волн со сферической симметрией, для которых оператор действовал на Таким образом, на больших расстояниях от начала координат основное различие между сферическими и цилиндрическими возмущениями состоит в скорости затухания бегущей волны.

Общее решение уравнения (1.51) выражается через функции Бесселя нулевого порядка:

функция при при Из требования ограниченности решения при получаем

При достаточно больших значениях х справедливо приближенное выражение для

Если то при больших уравнение (1.56) становится аналогичным уравнению для сферической волны, что подтверждается переходом от (1.53) к (1.54).

Из уравнений (1.42) и (1.56) получаем выражение для волны давления

Если теперь учесть (1.57), получим

Для удобства обозначим через и запишем

Объединяя (1.59) и (1.60), получаем

Как и в случае сферической волны, определим как расстояние от поверхности кругового цилиндрического источника с радиусом тогда, используя обратное преобразование Лапласа, получаем 1/2

Отметим близкое сходство этого решения с выражением (1.48) для сферической симметрии, что и следовало ожидать вследствие сходства уравнений (1.54) и (1.40).

Общее решение уравнения (1.58) имеет вид

где обратное преобразование Лапласа от

В понимании смысла уравнения (1.63) может помочь замена переменных. Пусть тогда

Вблизи фронта сформировавшегося бегущего цилиндрического возмущения при из уравнения (1.64) получаем

Обратим внимание на появление ожидаемой зависимости вида в выражении для давления и на вид интеграла с запаздыванием. Как и в случае сферической симметрии,

При больших значениях

Из (1.62) и (1.67) получаем выражение для радиальной составляющей интенсивности

Итак, возмущения давления, порождаемые поверхностью бесконечного кругового цилиндра, движущегося радиально симметрично, не сохраняют свою первоначальную форму, как в случае плоских или сферических волн, а эволюционируют в соответствии с (1.63).

Однако для очень больших значений радиальной координаты возмущения давления ведут себя так же, как плоские и сферические волны (см. уравнения (1.54) и (1.55)). С физической точки зрения это объясняется тем, что рассматривается бесконечный круговой цилиндр. Любое нестационарное возмущение в точке будет восприниматься в точке поля в течение времени, превышающего длительность возбуждающего возмущения, из-за протяженности

источника и конечной скорости распространения волны в среде. Возмущение давления существенно уменьшается из-за множителя так что состояние жидкости в точке не отличается от покоя, т. е. от ее состояния до прихода фронта нестационарной волны.

Импульсы давления от длинного цилиндра обычно имеют длинные «хвосты». Хотя эти импульсы действуют с задержкой, они не воспроизводят первоначальный импульс источника, как это имеет место для бесконечного плоского излучателя или сферически-симметричного источника.