1.7. Одномерное волновое движение

Во многих обзорах и учебниках как по общей, так и по медицинской акустике обсуждается распространение волн лишь в виде простого гармонического движения в плоской бегущей волне. Это, конечно, частный случай более общего трехмерного решения уже обсуждавшегося волнового уравнения, который имеет слабое отношение к медицинской акустике. Дело в том, что взаимодействие одномерных фронтов плоских волн с бесконечными плоскими границами раздела, конечно же, является плохой моделью распространения ультразвуковых импульсов в теле человека. Однако простота такой модели делает ее удобной для описания связи между акустической волной и средой, в которой она распространяется. Будет показано, что на практике одномерная модель также иногда допустима — при конструировании акустических систем.

1.7.1. СВЯЗЬ ПАРАМЕТРОВ АКУСТИЧЕСКОЙ ВОЛНЫ СО СВОЙСТВАМИ МАТЕРИАЛА

Из уравнения (1.38) мы знаем, что в случае плоской бегущей волны z-компонента мгновенного значения интенсивности связана с мгновенными возмущениями давления и скорости частиц:

Можно показать, что соответствующие смещение и ускорение частиц среды представляются в виде

где — угловая частота акустического поля.

Усредненная по одному или нескольким полным периодам гармонического колебания интенсивность

где амплитуды скорости частиц и флуктуаций давления.

Этот сильно упрощенный анализ может пригодиться для получения соотношений между звуковым полем и некоторыми параметрами, с которыми оно связано. Эти параметры играют роль количественных характеристик взаимодействия поля и среды и могут быть измерены. Реальные значения некоторых параметров при обычных условиях приведены в табл. 1.1.

Таблица 1.1. Значения некоторых физических параметров звукового поля бегущей волны в воде при интенсивности и частоте

Интересной особенностью уравнений акустического поля в одномерной записи является их очевидное формальное тождество с телеграфными уравнениями для электрических линий передачи (см., например, [9]). Практическая важность этого формального сходства состоит в том, что оно позволяет применять хорошо развитую

теорию линий передачи для решения ряда задач акустики бегущих плоских волн. Соответствующие аналогии между электрическими и акустическими величинами сведены в табл. 1.2.

Таблица 1.2. Электрические и акустические аналоги

Эта аналогия показывает, что акустическая величина играет роль аналогичную характеристическому импедансу линии передачи. Поэтому будем называть эту величину характеристическим акустическим импедансом среды и обозначать ее символом Однако при этих рассуждениях мы стараемся не замечать, что за исключением частного случая распространения плоских волн скорость частиц состоит из трех векторных компонент и что применение импеданса в форме неприемлемо. Полезна обратная величина, вектор обычно называемая акустической проводимостью.

Типичные значения Z для некоторых веществ перечислены в табл. 1.3, но необходимо помнить, что биологические ткани — это «композитные» материалы, состоящие из различных компонент, в которых значения этих параметров могут существенно отличаться от значений для всей ткани.

Имеется настоятельная необходимость создания надежных и исчерпывающих таблиц основных акустических свойств неорганических и биологических материалов, представляющих интерес для медицинской акустики. В настоящее время большая часть имеющих данных рассеяна по литературе; некоторые полезные таблицы приведены в работах [2, 13].

В разд. 1.7.2-1.7.4 перечислены некоторые простые, но практически важные результаты для одномерного волнового движения, определяемого одномерными уравнениями неразрывности и движения, эквивалентными уравнениям линии передачи (см., например, [9, 15]).

Таблица 1.3. Приближенные значения плотности, скорости звука и характеристического импеданса для некоторых веществ, существенных для медицинской акустики (при 37 °С)