4.3.2. ВЯЗКОУПРУГИЕ СВОЙСТВА КВАЗИТВЕРДЫХ СРЕД

До сих пор в данной главе, как и в гл. 1, подчеркивалась вязкая природа жидкостей. В классическом случае идеально вязкой (ньютоновской) жидкости приложенное напряжение всегда пропорционально скорости изменения результирующей деформации, но не зависит от величины этой деформации, которая может меняться. В противоположность этому идеально упругое твердое тело подчиняется закону Гука, согласно которому напряжение всегда пропорционально деформации и не зависит от первой производной деформации. Все реальные среды характеризуются комбинацией указанных свойств, т. е. напряжение в них зависит как от самой деформации, так и от ее производной по времени (а также от производных деформации более высоких порядков). Поэтому реальные материалы являются по своей природе вязкоупругими. Следует отметить также, что на практике реакция среды на приложенное напряжение является нелинейной. Этот вопрос подробнее рассматривается далее в разд. 4.3, а пока мы по-прежнему будем предполагать наличие линейности.

Наглядно молекулярную картину вязкоупругости можно представить, рассматривая объем жидкости между двумя пластинами, одна из которых фиксирована, а другая колеблется, создавая в среде синусоидальное сдвиговое напряжение. На низких частотах колебаний вся первичная энергия диссипирует в вязком течении различных слоев жидкости относительно друг друга. Такое течение представляет собой направленный дрейф на фоне хаотического теплового движения молекул жидкости. Если частота колебаний напряжения возрастает до высоких значений, при которых диффузия молекул уже не успевает происходить в течение одного периода сдвиговой деформации, то жидкость приобретает сдвиговую жесткость. При этом вместо диссипации энергии в вязком течении наблюдается сохранение энергии в упругой форме. Промежуточная область перехода от вязкого характера поведения среды на низких частотах к упругому характеру на высоких частотах называется областью вязкоупругой релаксации. При этом время вязкоупругой

релаксации представляет собой время диффузионного перехода молекул жидкости.

На низких частотах изменения объема среды происходят синфазно с изменением приложенного давления за счет перемещения молекул между областями с высокой и низкой плотностью. На высоких частотах структура жидкости уже не в состоянии достаточно быстро реагировать на изменения давления, при этом с ростом частоты возникает объемная или структурная релаксация. В этом случае время релаксации определяется временем, необходимым для перехода жидкости к новому равновесному объему вслед за быстрым изменением приложенного давления.

Продольная ультразвуковая волна характеризуется как сдвиговой компонентой, так и компонентой сжатия, поэтому в общем случае ее распространение можно описать с помощью модуля сдвига, объемного модуля упругости и времен релаксации.

По существу теория вязкоупругости является феноменологической и ее можно использовать для описания механических свойств любых макроскопически однородных твердых и жидких сред. Эта теория не рассматривает в явном виде процессы, происходящие на молекулярном уровне, но может включать в себя анализ механизмов сдвиговой и объемной релаксации, о которых шла речь в разд. 3.1. Теория вязкоупругости [36] нашла наибольшее применение при анализе механических свойств различных полимеров [62, 145], находящихся как в твердой фазе, так и в растворе. Полимеры являются характерными представителями вязкоупругих материалов, занимающих по своим свойствам промежуточное положение между жидкостями и твердыми средами. В большинстве работ по применению ультразвука в медицине и биологии анализу вязкоупругих свойств уделялось мало внимания. Однако буквально с самых первых экспериментов по измерению поглощения в биологических тканях исследователи предполагали, что теория вязкоупругости к этим средам может быть также применена [104]. Ниже приводится краткое изложение некоторых аспектов теории вязкоупругости, цель которого — дать представление о сути работ, опубликованных по данной тематике. Выводы теории даются без строгого математического доказательства и служат только для иллюстрации результатов, опубликованных в литературе.

Отметим прежде всего, что уравнение (4.1) можно представить в виде

Это уравнение вновь можно привести к виду введя комплексную величину скорости звука с, определяемую как

В этом выражении величина с представляет собой фазовую скорость при отсутствии в среде затухания. При наличии затухания фазовая скорость становится комплексной и зависит от частоты, т. е. существует дисперсия скорости.

Одномерное волновое уравнение, описывающее распространение звуковых волн в твердых телах, имеет вид

где модуль упругости для одноосной деформации, К—модуль всестороннего сжатия и модуль сдвига. Аналогичные уравнения можно написать для чисто продольных или сдвиговых волн, если модуль упругости М заменить соответственно модулем К или Из волнового уравнения скорость распространения звуковых волн в твердых телах определяется следующим образом:

Отсюда следует, что модуль М также должен быть комплексным и должен зависеть от частоты. Это справедливо и для модулей . Поэтому в общем случае мы можем написать

Действительные части этих комплексных выражений представляют собой модули упругости, каждый из которых находится в фазе с гармонически изменяющейся деформацией, тогда как мнимые части — это модули потерь, сдвинутые по фазе на 90° относительно деформации.

Подстановка (4.14) в (4.16) позволяет выразить действительную и мнимую части величины М через параметры а и с. Если потери

достаточно малы и выполняется условие то в результате такой подстановки можно получить

В большинстве работ, посвященных анализу вязкоупругих свойств материалов, экспериментальные данные выражаются через модули , либо через модули, соответствующие неодноосным деформациям. Выражения (4.18) и (4.19) позволяют достаточно быстро проанализировать результаты измерений и связать их с часто используемыми в медицинской акустике параметрами — скоростью звука и коэффициентом затухания, поскольку с и (тангенс угла потерь).

Если через а и у обозначить соответственно обобщенные напряжение и деформацию, то модули упругости в случае идеально упругого твердого тела будут определяться выражениями Коэффициенты вязкости для ньютоновской жидкости также можно выразить через напряжение и деформацию с помощью соотношений Индексы относятся соответственно к объемной и сдвиговой деформации.

Моделирование вязкоупругих свойств среды на макроскопическом уровне можно осуществить многими способами, используя различные комбинации упругих и вязких элементов. Обычно эти элементы условно называют соответственно пружинами и демпферами. Часто применяются два подобных способа, известные под названиями модели Максвелла и модели Фойгта. На рис. 4.2, а и показаны соединения пружин и демпферов, образующие элемент Максвелла и элемент Фойгта. Анализ этих моделей или их эквивалентных электрических цепей показывает, что в модели Максвелла приложенное к среде напряжение (электрическое напряжение) действует одинаково на упругий (емкостной) и вязкий (резистивный) элементы, а их деформации или скорости изменения деформации (ток) просто складываются. В модели Фойгта каждый элемент испытывает одинаковую деформацию, а приложенное напряжение есть сумма упругой и вязкой компонент (деление напряжения). Из рис. 4.2 следует, что для модели Максвелла

Рис. 4.2. а — Элемент Максвелла и его эквивалентная электрическая схема; б - элемент Фойгта и его эквивалентная электрическая схема; в и г - обобщенные механические модели, построенные соответственно из элементов Максвелла и элементов Фойгта и применяемые для описания макроскопических свойств вязкоупругих материалов [62].

тогда как для модели Фойгта

При выводе этих уравнений учитывались только сдвиговые деформации. Величина соответствует значению модуля упругости в случае, когда среда ведет себя подобно идеальному твердому телу, т. е. при бесконечно больших частотах. Решения уравнений (4.20) и (4.21) можно найти в книгах, посвященных анализу электрических

цепей. В частности, переходная характеристика системы, описываемой уравнением (4.21), при мгновенном снятии приложенного напряжения определяется выражением

где величина сдвиговой деформации в тот момент времени, когда постоянная времени или время релаксации для элемента Фойгта. Данная переходная характеристика описывает явление ползучести.

Если напряжение изменяется по гармоническому закону, то деформация среды также будет гармонической. При этом зависящие от частоты комплексные модули упругости можно найти, если в уравнениях (4.20) и (4.21) вместо подставить значение и производные по времени заменить множителем . В результате для элемента Максвелла получаем

Аналогичным образом для элемента Фогта можно найти, что

Деформации сжатия можно рассмотреть на основе модели, аналогичной той, которая показана на рис. 4.2, б. В этой модели упругий элемент (пружина) соответствует упругости на нулевой частоте (модулю ), а вязкий элемент (демпфер) заменяется максвелловским элементом, для которого справедливо модифицированное уравнение (4.20), записанное с учетом деформации сжатия. Другими словами, соотношение между напряжением и деформацией принимает вид

Вводя время объемной релаксации предполагая, что изменения объема происходят по гармоническому закону, из выражения (4.25) можно выразить модуль всестороннего сжатия

В этой формуле величина представляет собой релаксационную часть модуля всестороннего сжатия.

Объединяя уравнение (4.26) либо с уравнением (4.23), либо с уравнением (4.24) и используя (4.16), можно получить выражение для модуля упругости при одноосной деформации М в рамках модели Максвелла или Фойгта. Затем можно использовать уравнения (4.18) и (4.19) для нахождения скорости распространения звука и коэффициента затухания. Подобный вывод приведен в прекрасной работе Рэйчела [185], посвященной сравнительному анализу двух данных моделей. Следует отметить, что времена релаксации и обычно считаются равными друг другу.

Как модель Максвелла, так и модель Фойгта позволяют получить дисперсионные соотношения и релаксационные уравнения, аналогичные выражению (4.11). Различие между ними заключается в том, что модель Максвелла предсказывает более сильную дисперсию скорости звука. Кроме того, в рамках модели Максвелла коэффициент затухания с ростом частоты сначала возрастает, а затем выходит на плато (аналогично зависимости, показанной на рис. 4.1, а). Согласно модели Фойгта, затухание неизменно растет при повышении частоты. Другими словами, в случае модели Максвелла величина спадает до нуля при стремлении частоты к бесконечности, тогда как для модели Фойгта она уменьшается с ростом частоты, достигая некоторого приблизительно постоянного значения на высоких частотах. В последнем случае зависимость поглощения от частоты аналогична кривой, показанной на рис. 4.1, в и характеризующей влияние одиночного равновесного процесса с двумя устойчивыми состояниями, действующего в сочетании с классическими процессами. Различие в оценке дисперсии скорости звука между двумя рассмотренными моделями можно установить, если исследовать уравнения (4.23), (4.24) и (4.26). Можно показать, что в рамках обеих моделей при стремлении частоты к бесконечности эффективный модуль упругости стремится к значению . С другой стороны, при в модели Максвелла , а в модели Фойгта

Следует отметить, что для правильного описания экспериментальных данных уравнения (4.24) — (4.26) часто приходится обобщать с учетом конкретных распределений времен релаксации (рис. 4.2, в и г). Было установлено, что теория Максвелла наиболее пригодна для описания распространения звука в жидкостях, тогда как дополнительный учет статического модуля сдвига в модели Фойгта делает эту модель, по-видимому, более подходящей для описания биологических тканей. Последний вывод подтверждается работой [1], автор которой успешно смоделировал биологическую

ткань с помощью элемента Фойгта, использовав опубликованные данные по затуханию ультразвука в тканях. При этом он учитывал только одно время релаксации для описания этих данных в диапазоне частот, характерном для медицинских приложений.

При анализе теории вязкоупругости необходимо остановиться еще на одном моменте. Из уравнения (4.19) следует, что

Выражения для модуля , полученные из уравнений (4.23), (4.24) и (4.26), на низких частотах для обеих моделей приводятся к виду

где представляет собой либо либо Подставляя это выражение в формулу (4.27), получаем следующее выражение, справедливое на низких частотах:

Его можно также представить в виде

Таким образом, мы снова вернулись к классическому выражению для поглощения в тканях (см. формулу (4.12)).