1.8. Нелинейные эффекты в жидких средах без потерь

В этом разделе приводится краткий вывод соотношений, необходимых для описания эффектов нелинейной акустики в жидкостях без потерь. Более полное исследование выполнено в работе Блекстока [3]. В разд. 1.2 этой главы были выведены основанные на линейной акустической теории соотношения между такими величинами, как интенсивность и плотность энергии, которые мы будем называть квадратичными величинами. В этом разделе этим величинам будет дано более серьезное обоснование и будут представлены новые соотношения, не следущие непосредственно из линейной теории.

Хороший пример одного из таких соотношений — выражение для силы, действующей на объект, помещенный в акустическое поле. Применение этого выражения для «радиационного давления» будет обсуждаться в гл. 3.

Приведенные ниже уравнения — это второй закон Ньютона и закон сохранения энергии для механики сплошной среды без потерь:

«Крышка» над зависимыми переменными введена, чтобы избежать сложных обозначений при разделении величин на постоянные и зависящие от пространства и времени. Такими зависимыми переменными являются давление плотность и скорость частиц у. Т — тензор 2-го ранга, например полная энергия в единице объема (плотность энергии). Независимой переменной является

Уравнение (1.193) представляет собой обобщенное «волновое уравнение», которое может быть получено из выражений (1.189) и (1.191).

Уравнения (1.189) и (1.191) образуют нелинейную систему,

которая, следовательно, не может быть легко решена без учета взаимодействий. При работе с этими уравнениями можно начать с линеаризованных уравнений и определить внешние параметры давление и плотность в отсутствие акустических или неакустических движений жидкости. Тогда и у можно записать в виде

где и у — акустические величины.

Уравнения (1.189) и (1.191) не образуют полную систему уравнений гидродинамики. Необходима дополнительная связь между флуктуациями давления и плотности:

Параметр обычно называют параметром нелинейности. Он расширяет общее линейное выражение, полученное при до следующего порядка малости. При атмосферном давлении зависит от типа жидкости, а для данной жидкости — от температуры.

Если выразить уравнения (1.189) и (1.193) через (путем применения (1.194) и (1.195)), то достаточно просто можно записать выражения 1-го и 2-го порядков. Например, уравнения 1-го порядка имеют вид

Здесь представлены члены, содержащие лишь одиночную независимую переменную, а не произведения двух и более.

Обозначая усреднение по времени скобками действуя на (1.189), получаем

где с точностью до 2-го порядка

Отметим, что производная по времени в уравнении (1.189) при усреднении дает нуль.

Уравнение (1.199) можно модифицировать с помощью соотношений 1-го порядка (1.196) и (1.197) и тождества

откуда следует

Из (1.202) непосредственно следует, что

где

Второе соотношение, содержащее средние по времени величины 2-го порядка, можно вывести из (1.196) и (1.197) или из (1.199) и (1.203):

По теореме Гаусса и связанному с ней интегральному тождеству

и

где поверхность объема жидкости, не содержащего источников, дифференциальный элемент площади, направленный по единичному вектору нормали. Дополнительное соотношение 2-го порядка следует из (1.191):

или, по теореме Гаусса,

Значение уравнения (1.209) становится ясно, если рассмотреть

«пучок» направленного преобразователя. Из этого выражения следует, что средняя по времени мощность, входящая в область без источников и стоков, равна по модулю излучаемой, если среднюю по времени интенсивность проинтегрировать по всему падающему и переизлученному пучку. Иными словами, мощность не увеличивается и не теряется внутри объема, а переизлучается.

Рассматривая радиационную силу, действующую на тело, необходимо иметь в виду, что величины в лагранжевых (движущихся) координатах связаны с величинами в эйлеровых (неподвижных) координатах соотношениями

где индекс обозначает величину на движущейся границе объекта в системе координат, движущейся вместе с границей и смещенной на расстояние

Радиационная сила имеет вид

где направление внешней нормали к поверхности тела. Из уравнения (1.196) видно, что

С точностью до второго порядка малости поэтому

и, следовательно, из (1.204), (1.210), (1.211) и (1.212) можно получить следующее тождество:

или в упрощенном виде

Таким образом, интегрирование средней по времени плотности энергии по поверхности в направлении внутренней нормали к поверхности дает результирующую радиационную силу, действующую на объект. Использование уравнения (1.216) для получения

более частного и полезного выражения для радиационной силы будет рассмотрено в гл. 3. Теоретические основы явления радиационного давления были предметом дискуссии: имеются две основополагающие статьи Вестервельта [30, 31] и полезный обзор Ливетта с соавт. [17].

Литература

(см. скан)

(см. скан)