1.5.2. СРЕДНЯЯ ПО ВРЕМЕНИ МОЩНОСТЬ ИЗЛУЧЕНИЯ РАСПРЕДЕЛЕННОГО ГАРМОНИЧЕСКОГО ИСТОЧНИКА
Полную мощность, проходящую через плоскую поверхность перпендикулярно ей, можно вычислить, интегрируя нормальную составляющую интенсивности по всей плоскости. В разд. 1.5.1 предполагалась зависимость от времени вида При этом
и
где
— реальная часть произвольной комплексной функции. Полная мощность, излучаемая в полупространство, есть
Если, как и раньше, для обозначения усреднения по времени использовать угловые скобки
то
Поскольку
то
С другой стороны, можно ввести комплексное сопряжение, обозначив его звездочкой:
Тогда
Средняя по времени излученная мощность на частоте со
Если задать
то видно, что
Из уравнения (1.125), где в отсутствие падающей волны
видно,
Следовательно,
и из уравнения (1.126) при
следует
Затем, очевидно, надо подставить эти выражения в (1.160). При этом важно различать переменные интегрирования в выражениях для
Следовательно, необходимо в уравнении (1.164) заменить
на
. Использование
-функции после подстановки в (1.160) показывает, что, согласно (1.158),
Итак, определены два различных выражения для средней по времени мощности излучения распределенного источника: одно — через скорость частиц и давление, другое — через угловой спектр плоских волн. Последнее имеет вид
Здесь нас интересуют лишь волны, распространяющиеся в положительном z-направлении, следовательно, надо интегрировать лишь по той части плоскости, где у — реальная величина. Тем самым мы избегаем появления нераспространяющихся или «пропадающих» волн и бесконечных пределов интегрирования.
В качестве упражнения читатель может самостоятельно подставить выражения (1.148) и (1.149) в (1.166).