6.3. Рассеяние в случайно-неоднородных средах

6.3.1. МОДЕЛИ БИОЛОГИЧЕСКИХ ТКАНЕЙ

Биологическая ткань представляет собой сложную среду, акустические свойства которой на микромасштабном уровне пока еще не изучены. Поэтому в настоящее время для исследования рассеивающих свойств биологических тканей обычно используются простые теоретические модели. Хотя некоторые ткани действительно обладают определенной периодичностью структуры, как, например, скелетные мышцы, состоящие из набора цилиндрических фибрилл с гексагональным расположением, ни одна из тканей не имеет идеально правильной структуры. В большинстве случаев структура биологических тканей занимает промежуточное положение между двумя предельными организациями — идеальной периодичностью и совершенно неупорядоченной структурой. Как уже отмечалось, рассеяние на регулярных структурах можно исследовать с помощью дифракционной теории. В данном разделе мы рассмотрим две принципиально различные модели случайно-неоднородных структур.

6.3.2. МОДЕЛЬ ДИСКРЕТНЫХ РАССЕИВАТЕЛЕЙ

В рамках этой модели предполагается, что случайно-неоднородная среда представляет собой набор дискретных рассеивателей (не обязательно идентичных), внедренных случайным образом в однородную подложку. Предполагается также, что размеры каждого рассеивателя малы по сравнению с длиной волны. Суммарное рассеянное поле определяется суперпозицией волн, рассеянных на каждом отдельном рассеивающем элементе. Такой подход был

предложен Фолди [20], он ввел также понятия когерентности и некогерентности. При любом фиксированном расположении рассеивателей результирующее рассеяние характеризуется временной когерентностью, но в то же время его можно разделить на пространственно когерентное и некогерентное в соответствии с влиянием каких-либо изменений во взаимном расположении отдельных рассеивателей. Когерентная часть определяется статистическим усреднением по множеству различных конфигураций и Фолди показал, что эта величина подчиняется однородному волновому уравнению со скоростью распространения, измененной из-за наличия рассеивателей. Отсюда следует, что когерентная часть не дает вклада в рассеянную волну. Некогерентная часть обусловлена изменениями пространственных конфигураций рассеивателей, и именно она дает вклад в результирующее рассеянное поле.

Таким образом [28],

причем

где сечение рассеяния и пространственная координата рассеивателя. Рассеяние на каждом рассеивающем элементе в силу малости его размеров по сравнению с длиной волны можно считать изотропным, при этом из уравнения (6.38) следует, что

Функция является случайной функцией, для которой статистическое среднее равно нулю. Ее статистические свойства обсуждаются в разд. 6.5, посвященном анализу рассеяния импульсных сигналов. Средняя по ансамблю (некогерентная) интенсивность рассеяния определяется выражением

В случае идентичных рассеивателей

Таким образом, интенсивность рассеянного поля пропорциональна и зависимость этой интенсивности от частоты подчиняется закону Рэлея.

6.3.3. МОДЕЛЬ НЕОДНОРОДНОГО КОНТИНУУМА

В данной модели предполагается, что в среде имеют место небольшие флуктуации плотности и сжимаемости относительно постоянных средних значений, причем статистические свойства этих флуктуаций описываются вполне определенной функцией автокорреляции. При этом каждый элемент неоднородной среды становится источником рассеянных волн. Такая модель позволяет рассчитать усредненную интенсивность некогерентного рассеяния. В дальнейшем с целью упрощения математических выкладок мы будем считать, что плотность среды постоянна, и рассмотрим только флуктуации сжимаемости. Последующий анализ базируется на работе Чернова [14].

Из уравнения (6.15) следует, что

Функции являются случайными функциями, поэтому для них необходимо провести статистическое усреднение:

При учете флуктуаций плотности выражение (6.47) значительно усложняется, в нем появляются перекрестные члены, в которые входят плотность и сжимаемость. В этом случае получить аналитическое решение более трудно, хотя в принципе необходимые расчеты аналогичны тем, которые проводились при выводе выражения (6.47).

Величина представляет собой автокорреляционную функцию для флуктуаций сжимаемости. Хотя могут быть использованы и другие виды этой функции, наиболее часто предполагается, что она имеет гауссову форму:

где а — радиус корреляции.

Подстановка (6.49) в (6.47) и (6.48) дает

Анализ этого выражения позволяет сделать несколько выводов. Для мелкомасштабных флуктуаций рассеяние носит изотропный характер и его интенсивность пропорциональна В случае крупномасштабных флуктуаций рассеянное поле характеризуется резко выраженной направленностью в прямом направлении, и большая часть рассеянной мощности сконцентрирована в пределах малого телесного угла:

В рамках рассмотренной модели ни при каких значениях мощность, рассеянная в обратном направлении, не может превышать мощность, рассеянную в прямом направлении. Другими словами, данная модель непригодна для тех случаев, когда возникает подобная ситуация, и необходимо применять другие модели среды [40]. Учет флуктуаций плотности среды позволил бы создать более универсальную модель. С этой же целью можно использовать более сложную автокорреляционную функцию, которая учитывала бы и анизотропию статистических свойств среды.