1.3. Простейшие виды бегущих волн

В этом разделе мы рассмотрим три простых типа бегущих волн. Будут выведены уравнения, описывающие волны, у которых поверхности равной фазы и равной амплитуды являются плоскими, сферическими или цилиндрическими.

Термин «простой источник» часто означает идеальный генератор одного из этих видов бегущих волн. Например, можно представить,

что плоские волны порождаются бесконечной плоскостью, движущейся по перпендикуляру к своей поверхности. Аналогично, сферические волны порождаются поверхностью сферы при радиально симметричном движении, а цилиндрические — поверхностью бесконечно длинного кругового цилиндра, движущегося радиально симметрично (т. е. независимо от координаты, направленной вдоль оси симметрии цилиндра).

Будем рассматривать бегущие волны в линейной жидкости без потерь, описываемой уравнениями (1.7), (1.8) и (1.9). Уравнение (1.9) (волновое уравнение для решается преобразованием Лапласа по независимой переменной при соответствующих начальных и граничных условиях.

Преобразование Лапласа от функции имеет вид

где — комплексная переменная в пространстве образа Лапласа. Символами будем обозначать первую и вторую производные по

Образы производных по связаны с образом «следующи выражениями, содержащими в явном виде начальные условия:

Выражения (1.24) и (1.25) справедливы при условиях непрерывности при и существования при некоторое значение).

Применяя (1.23) — (1.25) для преобразования Лапласа от выражений (1.7) — (1.9), получаем при условиях:

Выражение для получаемое при решении (1.26) с соответствующими граничными условиями, позволяет с помощью (1.27) и (1.28) найти которые затем подвергаются обратному преобразованию для получения