6.2. Основы теории рассеяния

6.2.1. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Рассеяние возникает в результате взаимодействия распространяющейся волны с неоднородностями среды, и это взаимодействие определяется неоднородным волновым уравнением. В зависимости

от конкретных условий возможны различные формулировки волнового уравнения. Мы рассмотрим случай слабонеоднородной среды, т. е. будем считать, что в среде отсутствует поглощение и флуктуации плотности и сжимаемости среды малы по сравнению со средними значениями до и внутри некоторого замкнутого объема К в котором локализованы неоднородности. Вне этого объема обращаются в нуль. Таким образом,

Кроме того, будем считать, что на поверхности, ограничивающей объем V,

Для удобства введем следующие параметры:

Используя введенные обозначения, волновое уравнение можно представить в виде [38]

где

Это уравнение можно решить методом функций Грина [37], рассматривая правую часть как член, описывающий источник, и используя функцию Грина, представляющую собой решение данного уравнения в случае, когда правая часть описывает точечный источник.

Соответствующее решение есть

где

Интегральное уравнение для Р имеет точное решение только для ряда простых по геометрической конфигурации объектов. В общем случае решение находится с помощью приближенных методов, причем важное место среди них занимает борновское приближение. В рамках этого приближения интегральный член уравнения (6.6) преобразуется путем замены на описывает падающую волну, которая распространялась бы в объеме V при условии его однородности (т. е. когда и в равны нулю). Обычно выражение для известно. Подчеркнем, что борновским приближением можно пользоваться только в случаях слабого рассеяния, когда оба параметра малы. Если эти условия не выполняются, то решение уравнения (6.6) ищется с помощью итерационного метода на основе последовательных приближений.

Таким образом, в борновском приближении

где рассеянная волна, описываемая выражением

В качестве примера рассмотрим случай, когда падающая волна является плоской волной с угловой частотой со и амплитудой т. е.

Подстановка (6.9) в (6.8) дает

где

Поместим начало координат внутри рассеивающего объема V (рис. 6.1). Если расстояние от рассеивающей области до точки наблюдения велико по сравнению с линейными размерами этой области, то показатель экспоненты, стоящей под знаком интеграла в выражении (6.10), приближенно можно представить в виде

причем направление вектора совпадает с направлением а его модуль равен к (рис. 6.1).

В результате

В данной главе мы используем метод фурье-преобразований, тогда как в гл. 1 анализ проводится с помощью преобразований Лапласа. С учетом этого можно видеть, что выражение (6.9) эквивалентно выражению (1.36), в котором мы положили

Аналогичным образом, уравнение (6.12) на языке фурье-преобразований эквивалентно уравнению (1.48). Уравнение (6.12) описывает сферическую волну, исходящую из начала координат (см. разд. 1.3.2) и характеризующуюся анизотропным угловым распределением. Эта пространственная анизотропия определяется интегралом, входящим в уравнение (6.12).

Введем определения

Рис. 6.1. Конфигурация, используемая при решении задачи рассеяния в приближении Борна (разд. 6.2.1).

Тогда

где

угол между направлениями падающей и рассеянной волн.

Анализ полученного выражения позволяет сделать некоторые выводы. Прежде всего, если флуктуации плотности и сжимаемости достаточно малы и носят случайный характер, то модули будут константами в пределах определенного интервала значений к, а амплитуда рассеянной волны будет пропорциональна Такая зависимость соответствует случаю рэлеевского рассеяния и часто наблюдается в различных волновых полях. Угловая зависимость амплитуды рассеянного сигнала определяется пространственными флуктуациями сжимаемости и плотности. Если флуктуации сжимаемости изотропны, то и рассеянное поле будет изотропным. Изотропность флуктуаций плотности приводит к дипольному рассеянию, при котором рассеяние имеет резко направленный характер и сконцентрировано в прямом и обратном направлениях.

Амплитуда рассеянной волны зависит от волнового вектора и угла рассеяния Для дальнейшего анализа волновые векторы падающей и рассеянной волны удобно представить в сферических координатах, выбирая координатную систему так, чтобы одна из осей совпадала с направлением падающей волны. Однозначным образом геометрию задачи в этом случае можно определить с помощью четырех углов (задавая два угла для падающей волны и два — для рассеянной). В частности, для рассеянной волны вводятся азимутальный угол и угол места (рис. 6.2). При этом угол можно выразить через углы Если, например, волновой вектор направлен вдоль оси у, то

Аналогичным образом, углы определяют ориентацию рассеивающего элемента относительно падающей волны. Эти углы являются сферическими координатами волнового вектора падающей волны в координатной системе, привязанной к рассеивающему элементу.

Таким образом, вектор К определяется модулем и углами Одно измерение рассеянного поля будет давать одно

Рис. 6.2. Схема, определяющая углы рассеяния из разд. 6.2.1. Углы сферические координаты волнового вектора рассеянной волны относительно Система координат выбрана так, что волновой вектор падающей волны к совпадает с осью у.

Можно использовать аналогичную систему координат (здесь не показана), привязанную к рассеивателю, для задания ориентации вектора относительно рассеивателя. С этой целью вводятся углы

значение величины Как видно из выражений (6.13) и (6.14), функции сами зависят от Чтобы получить значение функции в широком интервале изменения вектора К, необходимо провести измерения в некотором диапазоне частот, варьируя и углы По результатам таких измерений с помощью фурье-преобразования можно реконструировать параметры Такой подход известен как метод дифракционной томографии (см. разд. 9.5). Однако во многих случаях невозможно получить всю необходимую информацию — реально доступным является лишь ограниченный набор значений В системах, где используется эхо-импульсный режим, В этом случае измерения рассеяния будут давать информацию только о величине Следует также иметь в виду, что доступ ко многим участкам человеческого организма возможен лишь через некоторые «акустически прозрачные окна», поэтому реальный интервал углов рассеяния как правило, ограничен. И наконец, максимальная частота, которая может быть использована при

исследовании рассеяния, также ограничена из-за роста затухания звука. Это накладывает определенный предел на пространственное разрешение параметров Таким образом, в целом результаты измерения рассеяния позволяют получить ограниченную информацию о Во многих случаях экспериментальным путем удается определить лишь некий усредненный параметр, такой как сечение рассеяния.