ЧАСТЬ ЧЕТВЕРТАЯ. ДИНАМИКА СИСТЕМ. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ

ГЛАВА XII. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ В АБСОЛЮТНОМ ДВИЖЕНИИ

§ 1. ТЕОРЕМА О КОЛИЧЕСТВЕ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ И ТЕОРЕМА О ДВИЖЕНИИ ЦЕНТРА ИНЕРЦИИ

269. Силы внутренние и внешние. Уравнения движения точки системы.

Силы, действующие на точки материальной системы, делятся, как мы видели в статике, на две категории: силы внутренние, действующие между различными точками системы и представляющие собой взаимные действия и противодействия пар точек, принадлежащих к системе, и силы внешние, представляющие собой действия точек, внешних по отношению к системе. Внутренние силы попарно равны и противоположны на основании закона равенства действия и противодействия.

Рассмотрим систему, состоящую из материальных точек, массы которых — и координаты — Обозначим через массу и через х, у, z координаты какой-нибудь точки М этой системы. Через обозначим проекции одной из внутренних сил приложенных к рассматриваемой точке и через — проекции одной из внешних сил приложенных к той же точке. Дифференциальные уравнения движения точки М будут тогда:

где суммы 2 распространяются на все силы и , приложенные к выбранной точке М.

270. Количество движения. Теорема о проекциях количества движения.

Количество движения точки М есть вектор приложенный к точке и равный произведению вектора скорости точки на ее массу. Проекции взктора то на оси координат равны

Рассмотрим первое из уравнений (1); складывая все аналогичные уравнения для всех точек системы, получим

где двойное суммирование распространяется теперь на все силы приложенные ко всем точкам системы. Но внутренние силы попарно равны и противоположны, так что на нулю. Предыдущее уравнение приводится поэтому к виду

Так как

то уравнение (2) может быть написано в виде

Левая часть есть производная но врзмени от суммы проекций количеств движения на ось правая сумма проекций всех внешних сил на ту же ось. На основании уравнения (3) мы можем сформулировать следующую теорему:

Производная по времени от суммы проекций, количеств движения всех точек материальной системы на какую-либо неподвижную ось равна сумме проекций всех внешних сил на ту же ось.

Главная ценность, которую представляет эта теорема, заключается в том, что в нее не входят внутренние силы.

271. Количество движения системы.

Количество движения материальной системы есть геометрическая сумма количеств

движения каждой из ее точек. Эта величина есть вектор, который можно приложить к какой-либо точке О, взятой в качестве полюса. Проекции этого вектора на оси равны Если примем начало координат за полюс и отложим количество движения системы (OV) или, пользуясь более простым обозначением, V, то проекции вектора V на оси будут в точности равны координатам конца вектора.

Следовательно,

или в векторной форме

272. Теорема о количестве движения системы.

Эта теорема представляет собой кинематическую интерпретацию соотношений, выведенных в пп° 270,

Если из неподвижного полюса О провести для каждого момента времени главный вектор (OR) (или R) внешних сил и вектор количества движения системы (OV) (или V), то точка R будет представлять собой индекс точки V, так как при непрерывном изменении векторов (V) и (R) скорость точки V будет геометрически равна вектору

В самом деле, построим векторы (V) и приняв за полюс начало координат О. Координаты точки V имеют значения написанные выше. Координаты точки R равны двойным суммам Применяя теорему о проекциях количеств движения для каждой из осей, мы получим три следующих уравнения, первое из которых равносильно уравнению (3):

Эти уравнения выражают в алгебраической форме рассматриваемую теорему, так как левые части представляют собой проекции на оси координат скорости точки V.

Пользуясь геометрической производной вектора V, мы можем написать уравнения (4) в векторной форме

Это равенство представляет собой геометрическое выражение последней теоремы, так как левая часть его есть скорость точки V (для которой V является радиусом-вектором).

273. Распространение общих теорем на случай непрерывных сплошных тел.

Мы рассматривали до сих пор систему, состоящую из определенного числа материальных точек. Полученные теоремы можно распространить на сплошные тела, разделяя их на бесконечно малые элементы и рассматривая эти элементы как материальные точки. При этом посредством перехода к пределу мы заменяем суммы, входящие в предыдущие уравнения, определенными интегралами (как это делалось в теории центров тяжести). Таким образом, масса М системы, три проекции количества движения системы и результирующая внешних сил будут выражены определенными интегралами.

Не будем пока останавливаться на указанном распространении теорем, полученных выше; примеры подобных рассуждений будут даны в теории моментов инерции. При доказательстве других общих теорем, к изложению которых мы теперь переходим, мы ограничимся рассмотрением определенного числа точек, имея, конечно, в виду, что эти теоремы допускают такое же обобщение, как и предыдущие.

274. Теорема о движении центра инерции.

Центр инерции материальной системы движется как свободная точка, масса которой равна массе всей системы и которая находится под действием всех внешних сил, перенесенных параллельно им самим в эту точку.

Эта теорема представляет собой лишь другое выражение уравнения (2) и двух аналогичных уравнений:

Действительно, пусть - масса всей системы; координаты центра инерция определяются формулами:

Дифференцируя эти равенства дважды, получаем

После подстановки этих значений предыдущие уравнения принимают вид:

Эти уравнения представляют собой дифференциальные уравнения движения точки с массой М и с координатами находящейся под действием силы, проекции которой равны , что и доказывает теорему.

Теорема движения центра инерции представляет, в частности, интерес потому, что она сообщает смысл механической теории движения простой геометрической точки, даже в предположении непрерывности материи. Для этого нужно обратиться к соображениям, которые были опущены в предыдущем пункте. Значение теоремы движения центра инерции при рассмотрении основных законов механики подчеркивалось нами ранее.

275. Случай, когда геометрическая сумма внешних сил равна нулю.

Если геометрическая сумма внешних сил равна нулю и если, в частности, внешних сил нет, то предыдущие теоремы принимают особенно простой вид.

Центр инерции движется тогда как материальная точка, на которую не действуют никакие силы, т. е., на основании закона инерции-, центр инерции находится в состоянии покоя или прямолинейного и равномерного движения. В этом и заключается теорема сохранения движения центра инерции.

Уравнения (4) принимают в этом случае вид:

откуда имеем, обозначая постоянные через А, В и С;

Полученные равенства выражают то обстоятельство, что при отсутствии внешних сил количество движения системы (О V) остается постоянным по величине и направлению в течение всего времени движения. Это заключение представляет собой теорему сохранения количества движения системы.

Явление отката ствола орудия может рассматриваться как следствие теоремы сохранения движения центра инерции. Снаряд, заряд и само орудие образуют материальную систему, находящуюся в покое до воспламенения пороха. Воспламенение пороха вызывает лишь внутренние силы; поэтому центр инерции системы останется после выстрела в покое. Так как снаряд и газы выбрасываются в одну сторону, то орудие откатится в противоположную сторону.