§ 2. СЛУЧАЙ, КОГДА ГЛАВНЫЙ МОМЕНТ ПРИЛОЖЕННЫХ СИЛ ОТНОСИТЕЛЬНО НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ РАВЕН НУЛЮ

347. Первые интегралы.

Если главный момент G движущих сил относительно неподвижной точки равен нулю, что, очевидно, имеет место, когда движущих сил вовсе нет, то уравнения Эйлера приводятся к виду (4), указанному в конце предыдущего пункта.

В этом случае непосредственна получаем два первых интеграла движения. Умножим уравнения (4) соответственно на и сложим их; потом умножим те же уравнения на и опять сложим. Мы получим тогда два непосредственно интегрируемых равенства:

которые дают интегралы (в обратном порядке):

где К и h являются постоянными.

Эти два интеграла допускают непосредственную механическую интерпретацию. Первый из них представляет собой следствие из теоремы моментов. Так как главный момент G внешних сил равен нулю, то кинетический момент К остается неизменным. Величины — составляющие вектора К, поэтому сумма их квадратов есть Это обстоятельство и выражает первое уравнение. Мы видим, что постоянная , входящая в него, представляет собой неизменное значение кинетического момента.

Уравнение (2) выражает теорему живой силы.

В самом деле, так как работа движущих сил равна нулю, то живая сила остается постоянной и равна где — момент инерции тела относительно мгновенной оси вращения (п° 325), направляющие косинусы которой На основании формулы имеем

откуда

Таким образом, постоянная h, входящая в уравнение (2), равна живой силе тела. Это есть постоянная живых сил. Ни одна из постоянных К и h не равна нулю, поэтому не могут обратиться в нуль одновременно.

348. Геометрическое представление движения по Пуансо.

Движение, которое мы будем здесь рассматривать, получило название движения по Пуансо, так как последний дал для него весьма простое геометрическое представление.

Назовем мгновенным полюсом вращения точку в которой мгновенная ось вращения пересекает эллипсоид инерции:

Пусть есть радиус-вектор эллипсоида; координаты х, у, z мгновенного полюса определяются формулами:

Установив эти предварительные положения, мы будем иметь следующие свойства рассматриваемого движения:

1°. Нормаль к эллипсоиду инерции в мгновенном полюсе параллельна кинетическому моменту ОК.

Действительно, направляющими коэффициентами нормали к эллипсоиду (3) в точке х, у, z являются в мгновенном полюсе, на основании уравнэний (4), эти коэффициенты пропорциональны составляющим кинетического момента.

2°. Угловая скорость пропорциональна радиусу эллипсоида инерции, вокруг которого в данный момент происходит вращение.

В самом деле, из уравнений (4) получаем

Отсюда

3°. Плоскость, касательная к эллипсоиду инерции в мгновенном полюсе, сохраняет постоянное положение в пространстве.

Эта плоскость сохраняет постоянную ориентацию в пространстве, так как она перпендикулярна к кинетическому моменту в силу свойства 1°, а кинетический момент не изменяется на основании теоремы моментов. Остается показать, что эта плоскость находится на постоянном расстоянии от неподвижной точки О, принятой за начало координат. Уравнение плоскости, касательной к эллипсоиду (1) в точке имеет в текущих координатах вид:

Расстояние этой плоскости от начала координат есть

заменяя их значениями из формул получим.

4°. Проекция вектора угловой скорости (о на направление кинетического момента К есть величина постоянная.

Действительно, имеем

отсюда

5°. Скорость мгновенного полюса в его движении по эллипсоиду инерции может обратиться в нуль лишь в вершинах эллипсоида.

В самом деле, в силу уравнений (5), имеем:

таким образом, производные могут обратиться в нуль лишь в том случае, когда одновременно обращаются в нуль производные Тогда два из количеств будут равны нулю на основании уравнений Эйлера, при условии, что вращение происходит вокруг одной из осей эллипсоида инерции.

Приведенные здесь свойства позволяют дать ясную картину движения твердого тела. Отложим на неподвижной оси кинетического момента (ОК) отрезок ОР постоянной длины Р (фиг. 47) и проведем через точку Р плоскость (Р), перпендикулярную к (ОК). Эта неподвижная плоскость касается эллипсоида инерции, имеющего центр в О, во все время движения, и точка касания есть в каждый момент мгновенный полюс вращения I. Скорость этой точки постоянно равна нулю, так что эллипсоид инерции (движущийся вместе с твердым телом) может при этом лишь катиться и вертеться по неподвижной плоскости без скольжения.

Фиг. 47

Угловая скорость пропорциональна радиусу-вектору эллипсоида инерции, вокруг которого в данный момент происходит вращение. Составляющая этой угловой скорости в плоскости (Р) есть качение, представляющее собой величину переменную, составляющая же, нормальная к (Р) и представляющая собой верчение эллипсоида на плоскости (Р), есть постоянная величина (4°).

Замечание. Следует заметить, что для эллипсоида инерции с центром О движение тела по Пуансо вполне определяется двумя постоянными h и К первых интегралов, если отвлечься от ориентировки системы отсчета. Оно определяется также расстоянием центра эллипсоида инерции от неподвижной касательной плоскости и значением верчения. Если отвлечься от времени, то движение зависит лишь от этого расстояния Р; время же, необходимое для перехода от одного положения к другому, непосредственно следующему, пропорционально

349. Полодия и герполодия. Движущийся конус.

Мгновенный полюс вообще говоря, перемещается по движущемуся эллипсоиду инерции и неподвижной касательной плоскости (Р). Геометрическое место мгновенных полюсов на эллипсоиде есть кривая, которой Пуансо дал название полодии (дорога полюса), а геометрическое место полюсов на плоскости (Р) получило название герполодии. Точка, совпадающая в каждый момент с мгновенным полюсом, имеет относительную скорость на эллипсоиде, равную ее абсолютной скорости на плоскости, так как скорость переносного движения равна нулю. Эта точка описывает за один и тот же промежуток времени равные по длине дуги на полодии и герполодии; отсюда следует, что эти две кривые могут лишь катиться одна по другой.

Геометрическое место мгновенных осей вращэния в теле есть конус (С) с вершиной О. Полодия представляет собой пересечение этого конуса с эллипсоидом инерции. Отсюда можно вывести второе геометрическое представление движения твердого тела. Разрежем движущийся конус (С) вдоль полодии и сохраним лишь часть конуса, заключенную между вершиной О и полодией (фиг. 47). Эта часть образует род рожка, закрепленного в точке О своей вершиной и опирающегося краем на неподвижную плоскость (Р) в точке полодии. Этот рожок катится по неподвижной плоскости (Р) и в своем движении увлекает связанное с ним твердое тело.

Уравнения полодии можно получить, если к уравнению эллипсоида инерции (3)

присоединить уравнение, выражающее то свойство, что плоскость, касательная в точке х, находится на постоянном расстоянии (7),

от центра эллипсоида. Это второе уравнение, на основании равенств (5) и (7), может быть написано в виде

или, полагая

в виде

Уравнения (3) и (9) и представляют собой уравнения полодии. Полодия есть, таким образом, алгебраическая кривая четвертого порядка. Умножим уравнение (3) на D и вычтем его из уравнения (9). Получим тогда однородное уравнение, т. е. уравнение конуса с вершиной в О, проходящего через полодию; это — уравнение подвижного конуса, представляющего собой геометрическое место мгновенных осей в теле:

Полодия представляет собой пересечение эллипсоида инерции с этим конусом. Поэтому она может быть также выражена уравнениями (3) и (10). Перейдем теперь к исследованию уравнения подвижного конуса.

350. Исследование уравнения подвижного конуса (С).

Уравнение подвижного конуса, как мы только что видели, имеет вид:

Коэффициенты А, В, С представляют собой обратные величины квадратов полуосей эллипсоида инерция; коэффициент D, на основании формулы (8), есть обратная величина квадрата расстояния от центра эллипсоида до неподвижной касательной плоскости (Р). Расстояние Р необходимо должно быть заключено по величине между длинами малой и большой осей эллипсоида (касающегося неподвижной плоскости), а потому величина D должна быть заключена между значениями наименьшего и наибольшего из коэффициентов А, В, С.

Предположим для определенности, что имеют место неравенства (равенство исключается) и что D отлично от В. При этом следует различать два случая:

Первый случай: . В этом случае расстояние Р от касательной плоскости до центра эллипсоида больше его средней полуоси. Плоскость перпендикулярная к большой оси, пересекает конус по эллипсу

и этот эллипс будет тем меньше, чем ближе будет D к С или чем ближе будет длина Р к большой полуоси. Следовательно, конус окружает большую ось; он стремится совпасть с ней, когда D стремится к С, и в пределе совпадает с нею точно.

Второй случай: этом случае расстояние Р меньше средней полуоси. Плоскость пересекает конус по эллипсу

и этот эллипс будет тем меньше, чем ближе будет D к А или чем ближе будет длина Р к малой оси эллипсоида инерции. Конус окружает малую ось; он стремится совпасть с ней, когда D стремится к А, и в пределе совпадает с ней точно.

Промежуточный случай: — Исключительным случаем, промежуточным между двумя предыдущими, будет тот, когда , т. е. когда расстояние Р равно длине средней полуоси эллипсоида инерции. Конус вырождается тогда в две плоскости, уравнение которых имеет вид:

эти плоскости проходят через среднюю ось и одинаково наклонены к главной плоскости

Крайние случаи: или . Эти предположения входят в случаи первый и второй в качестве предельных условий. Конус вырождается в прямую и совпадает с малой или с большой осью эллипсоида.

351. Устойчивость и неустойчивость постоянных осей вращения.

Три главные оси инерции являются, как мы знаем (п° 335), постоянными осями вращения. Мы снова установили это свойство для большой и малой осей эллипсоида инерции, совпадающих в случае вращения с конусом, описываемым мгновенной осью вращения в теле. Но здесь мы видим, кроме того, что большая и малая оси эллипсоида инерции представляют собой устойчивые оси вращения, т. е. что если отклонить направление начальной оси вращения от направления одной из этих главных осей достаточно мало, то отклонение будет оставаться весьма малым в течение всего времени движения. В самом деле, значение D будет в этом случае очень мало

отличаться от одного из предельных значений А или С, обеспечивающих постоянство направления оси вращения, и подвижной конус будет почти совпадать с соответствующей осью эллипсоида инерции. Наоборот, средняя ось неустойчива. Действительно, если вращение происходит вокруг средней оси, то имеем . Но в этом случае, перемещая сколь угодно мало плоскость (Р), т. е., изменяя очень мало начальные данные, можно осуществить то или другое из условий D или и тогда мы придем к первому или второму случаям, рассмотренным выше. Конус, описываемый мгновенной осью, будет окружать большую или малую ось эллипсоида инерции (смотря по тому, какой из указанных случаев имеет место), а мгновенный полюс будет описывать на эллипсоиде кривую больших размеров. При этом сам эллипсоид в своем движении по плоскости (Р) будет получать большие отклонения от первоначального положения. Вращение вокруг средней оси оказывается, таким образом, неустойчивым.

352. Дифференциальное уравнение герполодии. Форма этой кривой. Герполодия не имеет точек перегиба.

Пусть Р есть основание перпендикуляра, опущенного из неподвижного центра О на неподвижную плоскость (Р), на которой мгновенный полюс описывает герполодию. Примем точку Р за полюс в плоскости (Р) и составим дифференциальное уравнение герполодии в полярных координатах R и в. Соответствующие декартовы координаты х, у, z мгновенного полюса удовлетворяют уравнениям (3) и (9):

Радиус-вектор связан с радиусом-вектором эллипсоида уравнением

Эти уравнения можно разрешить относительно выразив их как рациональные функции от . Отсюда можно получить значения dx, dy и dz в функции от R и dR и вывести далее выражение дифференциала дуги полодии в виде:

Но то же значение имеет дифференциал дуги герполодии. Таким образом, в координатах R и 0 имеем уравнение:

представляющее собой дифференциальное уравнение герполодии. Интегрирование этого уравнения выполняется в эллиптических функциях, так что герполодия есть трансцендентная кривая.

Нетрудно представить себе схематический вид герполодии в общем случае, когда . Радиус-вектор эллипсоида инерции, проведенный в мгновенный полюс, описывающий полодию на этом эллипсоиде, изменяется периодически между наибольшим и наименьшим своими значениями, которые соответствуют переходам радиуса-вектора через главные плоскости. В самом деле, если приравняем нулю производную от (т. е. от ) по времени (условие экстремума) и продифференцируем по времени же два уравнения, помещенные в начале этого пункта, то получим:

Исключая , которые не обращаются в нуль одновременно (п° 348,5°), получим следующее соотношение:

которое может удовлетворяться лишь для точек, лежащих в главных плоскостях.

Таким образом, значение R, равное изменяется периодически, одновременно с и в том же смысле, между наименьшим значением и наибольшим значением . Если из точки Р как из центра проведем две окружности радиусов то герполодия будет итти между этими двумя окружностями, касаясь поочередно каждой из них (фиг. 48). Отсюда название герполодия (змеевидная дорога полюса), данное этой кривой Пуансо.

В своей, работе Пуансо дал рисунок герполодии, на котором эта кривая изображена с точками перегиба, лежащими между двумя последовательными точками касания с каждой из указанных окружностей. Позднее было доказано, что если движущийся эллипсоид есть эллипсоид инерции, то кривая не может иметь точек перегиба. Мы приведем здесь простое доказательство этой теоремы. Попрежнему предполагается, что .

Движение тела можно осуществить, заставляя катиться подвижной конус, геометрическое место мгновенных осей в теле, но неподвижному конусу, геометрическому месту этих осей в пространстве. Эти два конуса имеют общую вершину в точке О. Герполодия есть пересечение неподвижного конуса с плоскостью (Р).

Фиг. 48

Рассмотрим теперь плоскость, касательную к неподвижному конусу, и отложим на нормали, восставленной к этой плоскости в точке О, отрезок ON с длиной, равной единице. Заставим теперь касательную плоскость вместе с ее нормалью ON катиться по неподвижному конусу таким образом, чтобы образующая касания в каждый момент совпадала с мгновенной осью вращения . Движение плоскости (нормальной к конусу) в каждый момент есть мгновенное вращение вокруг образующей поэтому абсолютная с орость точки N перпендикулярна к этой плоскости и направлена в ту или другую сторону от нее, смотря по тому, в какую сторону вращается плоскость, касательная к конусу, или, иначе говоря, в какую сторону вращается касательная к герполодии. Если бы герполодия имела точку перегиба, то направление вращения касательной к этой кривой в некоторый момент изменилось бы на противоположное и вектор абсолютной скорости точки N при переходе с одной стороны плоскости, нормальной к неподвижному конусу, на другую ее сторону должен был бы обратиться в нуль (так как этот вектор не имеет составляющей в нормальной плоскости). Мы покажем сейчас, что это невозможно.

Уравнение подвижного конуса (в подвижной системе координат) имеет вид:

Угловые коэффициенты нормали к этому конусу в какой-нибудь точке мгновенной оси (координаты которой пропорциональны равны соответственно:

Обозначая через подходящий множитель, являющийся функцией , мы можем написать направляющие косинусы X, Y, Z нормали ON, представляющие собой в то же время координаты точки N, в виде

Проекция на ось Ох относительной скорости точки N равна

или, на основании уравнений Эйлера,

Проекция на ось Ох переносной скорости для той же точки есть

Следовательно, прогкция на Ох абсолютной скорости, равная сумме двух предыдущих выражений, может быть, после приведений, написана в виде

При обращении скорости в нуль эта проекция тоже равна нулю, откуда получаем

Так как проекция скорости точки N на ось Oz тоже равна нулю, то аналогично предыдущему имеем

Следовательно, правые части двух последних равенств должны быть равны между собой, что невозможно, так как D заключено между А и С, а потому эти выражения должны быть противоположны по знаку. Этот вывод основан на том, что для эллипсоида инерции обе суммы положительны, так как сумма каждых двух из трех величин А, В, С всегда больше третьей (п° 323). Герполодия, описанная каким-нибудь эллипсоидом, не представляющим собой эллипсоида инерции, может иметь точки перегиба.

Герполодия не может также иметь точек возврата, так как мгновенный полюс перемещается с одинаковой скоростью как по плоскости (Р), так и по эллипсоиду инерции, а мы знаем, что скорость мгновенного полюса не может обратиться в нуль (п° 348,5°).

353. Герполодограф.

Дарбу и Кёниге предложили кинематическую модель, позволяющую осуществить движение по Пуансо с учетом изменения угловой скорости в мгновенном вращении тела. Для этого необходимо ввести новое геометрическое представление движения, опирающееся на свойство постоянства верчения.

Разложим мгновенную угловую скорость на две ее составляющие, приложенные в точке О: верчение остающееся постоянным и нормальным к неподвижной плоскости (Р), и качение параллельное этой плоскости. Вектор описывает в пространстве плоскость (Q), параллельную (Р) и проходящую через О; в теле этот вектор описывает конус (С), связанный с телом и представляющий собой, как мы это увидим, конус второго порядка.

Сообщим плоскости Q постоянное вращение равное верчению, и возьмем эту подвижную плоскость в качестве системы отсчета. Мгновенное относительное движение твердого тела по отношению к этой плоскости приводится к вращению определяющему качение. Непрерывное относительное движение получим, заставляя конус катиться по плоскости

Таким образом, абсолютное движение тела можно осуществить, заставляя конус (С), связанный с телом, катиться по плоскости (Q), в то время как эта плоскость вращается равномерно с угловой скоростью вокруг оси, проходящей через неподвижную точку О и перпендикулярной к плоскости.

С другой стороны, мы знаем, что если подвижной конус (С), имеющий в основании полодию, разрезать по этой кривой, то он будет опираться на неподвижную плоскость (Р) точкой I полодии, которая катится по плоскости (Р).

Можно объединить оба эти способа представления. Оба конуса (С) и (С), связанные с телом, связаны также между собой. Их можно осуществить, представляя себе, что движущееся тело приведено к этим конусам, как это показано на фиг. 49. Конус (С), пересеченный вдоль полодии, касается неподвижной плоскости (Р) в мгновенном полюсе и катится своим краем по этой плоскости; конус (С) катится по плоскости (Q), параллельной (Р), причем сама плоскость (Q) вращается равномерно вокруг нормали ОР.

Фиг. 49

Предположим, что движущееся твердое тело, составленное из двух конусов (С) и (С), закреплено в точке О и зажато между двумя параллельными плоскостями (Р) и (Q) таким образом, чтобы трением можно было вызвать качение конусов по плоскостям и чтобы скольжение было невозможно. Плоскости (Q) достаточно будет сообщить равномерное вращение вокруг точки О, чтобы привести двойной конус в движение по Пуансо; при этом угловая скорость вращения плоскости (Q) может оставаться произвольной. Прибор, построенный Дарбу и Кёнигсом, подчиняется этим условиям и носит название герполодографа. Трение о подвижную плоскость заменено в этом приборе зубчатым зацеплением.

354. Уравнение конусов, описываемых в теле кинетическим моментом и вектором, представляющим мгновенное качение.

Найдем сначала конус описываемый в теле кинетическим моментом, направляющие коэффициенты которого суть Образующие этого конуса выражаются уравнениями

Точка принадлежит конусу (С), геометрическому месту мгновенных угловых скоростей со; ее координаты удовлетворяют уравнению (10), откуда

Уравнение искомого конуса получается исключением величин из последнего уравнения и двух предыдущих уравнений; оно имеет вид:

Найдем теперь уравнение конуса (С), описываемого в теле вектором Этот конус есть огибающая плоскости (Q), перпендикулярной к кинетическому моменту (п° 254), т. е. к образующей предыдущего конуса Определим положение образующей конуса абсциссой той из ее точек , для которой и будем рассматривать как функцию от . Плоскость (Q), перпендикулярная к этой образующей, в текущих координатах х, у, z выражается уравнением

Продифференцируем это уравнение и уравнение конуса по параметру ; обозначая штрихом производную по , получим

У равнение огибающей получится исключением величин , и из четырех предыдущих уравнений. Исключая из двух последних уравнений и пользуясь свойствами дробей, находим сначала

Подставляя значения из этих уравнений в уравнение , получим уравнение конуса (С) в виде

Два конуса взаимны между собой, каждый из них представляет собой огибающую плоскостей, перпендикулярных к образующим другого. Три конуса описанные в теле векторами представляют собой конусы второго порядка и имеют общие главные плоскости, совпадающие с главными плоскостями эллипсоида инерции.