§ 3. ДВИЖЕНИЕ ТЯЖЕЛОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ, ОПИРАЮЩЕГОСЯ НА ГОРИЗОНТАЛЬНУЮ ПЛОСКОСТЬ

414. Уравнения движения в случае, когда нет трения.

Предположим, что твердое тело вращения, ограниченное выпуклой поверхностью и находящееся под действием веса, опирается на горизонтальную плоскость (Р), по которой оно может скользить свободно и без трения. На такое тело действуют две вертикальные силы: вес его и реакция неподвижной плоскости. Центр тяжести Г тела движется поэтому как материальная точка, находящаяся под действием вертикальной силы; следовательно, проекция его на горизонтальную плоскость или будет неподвижна, или будет двигаться прямолинейно и равномерно. Мы будем предполагать, что начальная скорость этой проекции равна нулю; она останется равной нулю и в течение всего времени движения, и потому сам центр тяжести будет двигаться по вертикали.

Проведем через центр тяжести Г три прямоугольные оси постоянного направления с осью направленной по вертикали вверх.

Чтобы определить положение твердого тела относительно этой системы отсчета, обозначим через систему трех главных осей инерции, связанных с телом, полагая ось совпадающей с осью симметрии тела. Положение твердого тела

вместе с положением этого триэдра осей определяется посредством трех углов Эйлера обычным способом.

Применим сначала теорему живой силы в абсолютном движении. Живая сила тела в движении его около центра тяжести или по отношению к осям вычисляется совершенно так же, как в случае тела, имеющего неподвижную точку: удвоенная живая сила равна

где угловая скорость постоянна вследствие того, - что силы (реакция и вес) приложены к оси тела. Величины А и С представляют собой главные моменты Инерции относительно центра тяжести. Чтобы получить абсолютную живую силу, нужно прибавить к предыдущей величине живую силу центра тяжести, предполагая, что в нем сосредоточена вся масса М тела. Пусть h есть переменная высота центра тяжести над опорной плоскостью (Р), тогда эта живая сила есть

С другой стороны, так как Р — вес тела, то силовая функция равна . Теорема живой силы дает первое уравнение:

Второе уравнение получим, применяя теорему моментов относительно вертикальной оси в относительном движении около центра тяжести. Мы придем, таким образом, к точно такому же уравнению, как в случае абсолютного движения твердого тела около неподвижной точки. Это второе уравнение (6) п° 361.

Окончательно имеем два уравнения:

в которых — две произвольные постоянные интегрирования.

Так как мы имеем тело вращения, то высота h центра тяжести над горизонтальной плоскостью (Р) зависит лишь от

угла наклона оси симметрии тела к вертикали. Мы имеем поэтому соотношение вида

Эта зависимость позволяет исключить h из первого уравнения (1).

В результате получим два совместных дифференциальных уравнения для определения величин 0 и в функции времени. Из этих двух уравнений можно исключить и мы получим, таким образом, следующее дифференциальное уравнение, связывающее 0 и

Это уравнение поддается такому же анализу, какой был выполнен в случае твердого тела вращения, имеющего неподвижную точку. Мы воспользуемся из этого анализа только тем следствием, что угол наклона оси тела к вертикали стремится к постоянной величине, когда угловая скорость неограниченно возрастает. В самом деле, правая часть последнего уравнения должна быть положительна. Но это может иметь место, если значение очень велико, только в том случае, когда разность есть малая величина первого порядка; таким образом, отличается от своего начального значения лишь на очень малую величину первого порядка. Этот результат можно было бы получить непосредственно как следствие гироскопического эффекта.

415. Влияние трения.

Предположим, что плоскость (Р), на которую опирается тело вращения, не абсолютно гладкая, но может развивать некоторую касательную реакцию. Пусть тело, находящееся в быстром вращательном движении вокруг своей оси, поставлено на эту плоскость без начальной скорости центра тяжести и пусть в начальный момент ось симметрии тела наклонена к вертикали под некоторым углом. Благодаря наличию трения скольжения тело будет катиться и вертеться

по неподвижной плоскости вместе со своим центром тяжести. Но это перемещение центра тяжести не может осуществиться резко, скачком, — вначале будет иметь место скольжение (буксование) поверхности тела по плоскости. Касательная реакция плоскости прямо противоположна скорости точки поверхности, в которой происходит касание; эта реакция может быть заменена силой, приложенной в центре тяжести, и парой, которая оказывает влияние на движение, тела около центра тяжести. Мы покажем сейчас, что эффект этой пары в общем случае заключается в том, что она стремится выпрямить ось тела (приблизить ось к вертикали).

Пусть Г есть центр тяжести тела, — ось симметрии тела, составляющая острый угол с вертикалью направленной вверх, О — точка касания тела с горизонтальной плоскостью (Р). В общем случае угол тупой, и мы будем предполагать, что имеет место как раз этот случай.

Чтобы иметь определенный случай, сообщим телу вращение в положительную сторону вокруг его оси . Скорость точки касания О будет направлена в сторону положительного вращения вокруг оси касательная же реакция плоскости будет направлена в обратную сторону. Момент относительно точки Г этой реакции лежит в вертикальной плоскости и направлен по перпендикуляру к ОГ в сторону вертикали, проведенной вверх. Поэтому в движении тела около центра тяжести ось Oz тела вследствие гироскопического эффекта перемещается к оси момента, представляющей собой ось того вращения, которое стремится сообщить телу пара; ось Oz перемещается, следовательно, вверх. Таким образом, как было указано выше, эффект силы трения со стороны плоскости заключается в том, что эта сила стремится выпрямить ось симметрии тела (приблизить ось тела к вертикали).

416. Волчок.

Волчок представляет собой тяжелое тело вращения, опирающееся острием на горизонтальную неподвижную плоскость, которую мы сначала будем считать абсолютно гладкой. Предполагается, что острие оканчивается точкой, лежащей на оси вращения. Пусть l — расстояние этой точки от центра тяжести тела; высота h центра тяжести над плоскостью (Р) определяется формулой

Подставим это значение h в дифференциальное уравнение п° 414, которое определяет 0. Уравнение получит вид (если при этом изменить постоянную интегрирования а):

Правая часть этого уравнения есть многочлен от в точности совпадающий с тем, который рассматривался в п° 367 для случая тела, имеющего неподвижную точку. Поэтому мы получим те же самые следствия в части того, что относится к изменению угла а следовательно, и угла

Ось волчка совершает около центра тяжести двойное движение — нутации и прецессии. Она колеблется периодически в вертикальной плоскости и описывает в то же время конус вокруг вертикали. Амплитуда нутации будет тем меньше, а прецессионное движение тем медленнее, чем больше будет начальная угловая скорость тела вокруг своей оси.

Горизонтальная проекция центра тяжести неподвижна или совершает прямолинейное равномерное движение. При первом предположении движение центра тяжести сводится к колебательному движению по вертикали, синхронному с нутацией, с которой оно связано соотношением

Предыдущие условия являются идеальными. В действительности волчок опирается на плоскость не острием, а поверхностью вращения, более или менее заостренной, так что точка касания ее с плоскостью вообще не лежит на оси волчка и перемещается по поверхности. Кроме того, неподвижная плоскость не абсолютно гладкая. Эти два обстоятельства изменяют характер движения волчка по плоскости.

Может случиться, что волчок, будучи наклонен к вертикали, катится концом ножки по плоскости без скольжения. Движение относительно центра тяжести не изменяется при этом заметным образом. Но в своем движении по плоскости волчок перемещается нормально к горизонтальной проекции его оси, и так как эта ось совершает прецессионное движение вокруг вертикали, то волчок описывает круги большого радиуса с периодом, соответствующим периоду прецессии. Ось волчка наклонена внутрь круга, описываемого концом ножки, что находится в согласии,

как в этом легко убедиться, с принципом стремления осей вращения к параллельности.

Может также случиться, по крайней мере в начале движения, что имеет место скольжение ножки волчка по неподвижной плоскости. Эффект трения проявляется тогда в том, чтобы поставить ось волчка вертикально (выпрямить ось волчка) (п° 415). Это выпрямление может быть частичным; оно может сделаться полным лишь в том случае, когда действие трения скольжения будет достаточно продолжительным. При этом выпрямленная ось волчка может сделаться неподвижной в вертикальном положении. Такое состояние волчка устойчиво. В этом случае говорят, что волчок спит.