§ 4. ОБЩИЕ СВОЙСТВА ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ. ВИХРИ

497. Основная формула.

Мы будем предполагать, что существует силовая функция и что плотность зависит только от давления. Воспользуемся методом Лагранжа: будем рассматривать переменные как функции от t и от их начальных значений а, b, с при Когда изменяется только t, то точка х, у, z описывает траекторию одной и той же частицы. При изменении а, b, с мы переходим от одной траектории к другой. Все рассматриваемые нами функции будем считать зависящими от а, b, с, L Условимся обозначать символом d их дифференциалы относительно t и символом § их полные дифференциалы относительно а, b, с. Для различия будем называть последние дифференциалы вариациями.

Возвратимся к уравнениям движения. Умножим уравнения (4) п° 487 соответственно на вариации сложим их между собой, умножим потом на и проинтегрируем от 0 до t, считая а, b, с постоянными. Получим

Преобразуем левую часть этого уравнения интегрированием по частям, после чего она примет вид:

далее, принимая во внимание соотношения

можем написать левую часть в виде

Уравнение (1) обращается, таким образом, в следующее:

Положим, для упрощения,

где F есть однозначная функция, если силовая функция однозначна. Уравнение (1) можно теперь написать окончательно в виде следующей основной формулы

Отсюда имеем следующую основную теорему:

Выражение

для каждого частного значения t есть полный дифференциал некоторой функции от а, b, с, и эта функция однозначна одновременно с силовой функцией.

Мы займемся теперь выводом следствий из этой основной теоремы. Частным случаем ее является следующая теорема, принадлежащая Лагранжу.

498. Теорема Лагранжа. Невихревое движение.

Если в какой-либо момент времени скорости некоторой части жидкости имеют потенциал скоростей, то для этой части жидкости будет существовать потенциал скоростей и во всякий другой момент времени.

Говорят, что существует потенциал скоростей в какой-либо момент, если для этого момента a, v, w являются частными производными соответственно по х, y,z функции ,

иначе говоря, если есть полный дифференциал при переменных

Если существует потенциал скоростей в момент то выражение

есть полный дифференциал по отношению к переменным а, b, с. Следовательно, в силу предыдущей теоремы, выражение есть также полный дифференциал по отношению к а, b, с. Но тогда оно будет полным дифференциалом также по отношению к так как эти переменные независимы между собой на том же основании, как и переменные а, b, с.

Предыдущее выражение может стать полным дифференциалом при условии, чтобы вихрь был равен нулю в каждой точке рассматриваемой части жидкости, так как это равносильно обращению в нуль трех составляющих вихря, данных формулами (4) п° 496, а именно:

Когда это условие выполнено в некоторой части жидкости, то говорят, что движение этой части жидкости безвихревое. На основании этого движение будет безвихревым, если существует потенциал скоростей, и обратно.

Поэтому теорема Лагранжа может быть высказана следующим образом:

Если в какой-либо момент движение части жидкости безвихревое, то оно будет таким и во всякий другой момент.

499. Циркуляция вдоль жидкой нити.

Основная теорема п° 497 может быть еще выражена в другой форме, которую мы теперь установим.

Жидкой линией называют линию, которая все время состоит из одних и тех же частиц движущейся жидкости и, следовательно, перемещается и деформируется вместе с жидкостью.

Циркуляция вдоль линии L определяется криволинейным интегралом

взятым вдоль этой линии.

В этом интеграле t постоянно, а суть дифференциалы вдоль линии L при постоянном t, т. е. х, у, z рассматриваются как функции от а, b, с (t остается постоянным). Относительно циркуляции имеем следующую теорему:

Теорема. — Если имеем замкнутую жидкую линию L, движущуюся в области, где силовая функция однозначна, то циркуляция вдоль этой линии остается постоянной. В самом деле, проинтегрируем соотношение (3) п° 497

при постоянном t, вдоль линии (начальное положение линии L). Точка описывает , а соответствующая точка (х, у, z) описывает L. Поэтому получим, принимая во внимание, что интеграл от по замкнутой линии равен нулю (так как функция F однозначна),

что и доказывает теорему.

500. Поток (напряженность) вихря.

Пусть S есть часть поверхности, ограниченная замкнутой линией, не пересекающей себя. Возьмем нормаль, проведенную к этой поверхности с определенной стороны. Пусть есть элемент площади поверхности S и — проекции на нормаль к вихря в точке Так как проекции вихря на оси суть , то имеем

где X, Y, Z - направляющие косинусы нормали.

Рассмотрим поверхностный интеграл

этот интеграл называется потоком вихря сквозь поверхность S в направлении, выбранном для нормали.

Отметим следующие два свойства (чисто геометрические и применимые ко всякому векторному полю и, ):

1°. Поток вихря сквозь замкнутую поверхность (внутри которой поле непрерывно) равен нулю.

Это свойство есть следствие формулы Грина. Пусть есть замкнутая поверхность (рассматриваемая с внешней стороны) и Q — объем, заключенный внутри Имеем (предполагая, что и их производные непрерывны в объеме )

Принимая во внимание формулы (4) п° 495 для значений , будем иметь тождественно во всем объеме

Поэтому объемный, а следовательно, и поверхностный интегралы равны нулю.

2°. Поток вихря сквозь поверхность S равен циркуляции вдоль замкнутой линии L, ограничивающей S, если только скорости не испытывают разрыва на

Это свойство есть простая векторная интерпретация формулы Стокса.

Имеем

При этом предполагается, что контур L обходится в направлении против часовой стрелки по отношению к рассматриваемой стороне поверхности

501. Вихревая напряженность жидкой поверхности.

Жидкая поверхность есть поверхность, все время состоящая из одних и тех же частиц движущейся жидкости и, в общем случае, деформируемая с течением времени. Относительно жидкой поверхности имеет место следующая теорема:

Теорема. — Вихревая напряженность какой-либо части жидкой поверхности остается постоянной с течением времени.

Эта теорема эквивалентна теореме о постоянстве циркуляции вдоль замкнутой жидкой линии, заключающей внутри себя рассматриваемую поверхность (п° 499), в силу свойства 2°, установленного в конце предыдущего пункта. Теорема, таким образом, доказана для всякой области, в которой силовая функция однозначна (п° 499).

Теорема остается справедливой и в том случае, когда силовая функция не однозначна, но при условии, что движущаяся жидкая поверхность не встречает особой точки этой функции. Действительно, силовая функция однозначна в окрестности всякой не особой точки. Поэтому теорема применима к элементарному перемещению каждой достаточно малой части жидкой поверхности. Складывая эти части поверхности и элементарные перемещения, убеждаемся в том, что теорема применима ко всей поверхности и к любому конечному перемещению ее.

С этой теоремой связаны замечательные уравнения, принадлежащие Коши, которые мы выведем в следующем пункте.

502. Уравнения Коши.

Пусть есть часть плоской жидкой поверхности, параллельной плоскости в момент и пусть далее -положение поверхности в момент t. На основании предыдущей теоремы имеем

так как равно нулю.

Преобразуем каждый из трех интегралов, распространенных по поверхности S, в другой интеграл, распространенный по поверхности и относящийся к двум переменным b, с. Получим

Так как область интегрирования произвольна, то подинтегральное выражение всюду равно нулю. Таким образом, мы получаем первое из следующих уравнений, два же других напишутся по аналогии. Это уравнения Коши:

Эти уравнения связывают вихрь в момент t с вихрем в начальный момент для одной и той же жидкой частицы. Если значения не все равны нулю, то значения тоже не будут все равны нулю, и, следовательно, в совершенной жидкости вихрь частицы не может быть разрушен.

593. Вихревые линии и вихревые поверхности.

Вихревая линия есть кривая, касающаяся в каждой из своих точек вихря в этой точке. Уравнения вихревых линий при данном t суть интегралы системы дифференциальных уравнений

Эти интегралы зависят от двух произвольных постоянных, позволяющих провести одну вихревую линию через каждую точку жидкости.

Вихревая поверхность есть поверхность, касательная в каждой из своих точек к вихрю в этой точке. Эта поверхность есть геометрическое место вихревых линий. Действительно, если на вихревой поверхности S дровести линию L, отличную от вихревой линии, то поверхность S будет геометрическим местом вихревых линий, пересекающих L. Вихревая поверхность есгь поэтому такая поверхность, для которой нормальная составляющая вихря в каждой ее точке равна нулю, или иначе такая поверхность, для которой поток вихря через любую ее часть равен нулю.

На основании этого можно сказать, что вихревая поверхность есгь поверхность, вихревая напряженность любой части которой равна нулю. Основываясь на свойстве 2° п° 500°,

можно добавить, что вихревая поверхность характеризуется тем обстоятельством, что циркуляция вдоль всякого замкнутого контура, заключающего часть S этой поверхности, равна нулю.

Теорема Гельмгольца. — Если жидкая поверхность или жидкая линия есть вихревая поверхность или вихревая линия в какой-либо момент, то она останется такой же во все время движения.

Действительно, если жидкая поверхность S есть вихревая поверхность в определенный момент то вихревая напряженность каждой части поверхности равна нулю. Но эта напряженность постоянна во времени для каждой части жидкой поверхности (п° 501), поэтому она останется равной нулю во все время движения, и, следовательно, поверхность S все время будет вихревой поверхностью.

Доказательство распространяется и на жидкую линию L, являющуюся вихревой линией в момент . Действительно, линию L можно рассматривать как пересечение двух жидких поверхностей S и S, представляющих собой вихревые поверхности в тот же момент Во время движения жидкая линия постоянно будет пересечением жидких поверхностей S и S, которые сами будут вихревыми поверхностями: их пересечение L будет поэтому также вихревой линией во все время движения.

На основании этого вихревые линии и вихревые поверхности можно рассматривать как жидкие линии и поверхности.

504. Вихревая трубка. Вихревая напряженность трубки.

Вообразим замкнутую кривую (С), проведенную в жидкости и не лежащую на вихревой поверхности. Через каждую точку кривой (С) проведем вихревую линию. Мы получим, таким образом, вихревую поверхность трубчатой формы, которую называют вихревой трубкой. Мы знаем, что циркуляция на всякой замкнутой кривой, ограничивающей часть S поверхности трубки, равна нулю. Но этим свойством не обладает линия, лежащая на поверхности (С) и окружающая трубку; эта линия не заключает внутри себя части поверхности, и циркуляция по этой линии не равна нулю. Мы докажем следующее предложение:

Циркуляции по двум замкнутым линиям (С) и (С), окружающим трубку (один раз), равны между собой.

Предположим сначала, что две линии (С) и (С) имеют общую точку и только одну. Часть 5 поверхности трубки, заключенная между двумя линиями (С) и (С), находится внутри одного контура, образованного этими линиями, если они обходятся в противоположных направлениях. Поэтому циркуляция на полном контуре равна нулю; следовательно, циркуляции на контурах (С) и (С) равны между собой, если эти контуры обходятся в одном направлении.

Если контуры (С) и (С) не имеют общей точки, то на вихревой трубке всегда можно провести линию окружающую трубку и касающуюся лишь один раз каждого из контуров (С) и (С). Тогда циркуляции на линиях (С) и (С) равны между собой, так как каждая из них равна циркуляции на линии

Доказанное предложение эквивалентно следующему;

Вихревые потоки через два сечения одцой и той же вихревой трубки равны между собой.

Действительно, вихревой поток равен циркуляции кривой, ограничивающей сечение, а мы только что доказали, что эта циркуляция одна и та же, какова бы ни была ограничивающая кривая. Это постоянное для одной и той же трубки и для одного момента времени значение вихревого потока через поверхность, пересекающую трубку, или значение циркуляции по линии, окружающей трубку, называется моментом или вихревой напряженностью трубки в рассматриваемый момент.

Эти свойства имеют чисто векторный характер. Они применимы ко всякому полю векторов u, v, w и не зависят от уравнений движения. Используем теперь эти уравнения. Мы знаем, что циркуляция остается постоянной на замкнутой жидкой линии (п° 499) и что жидкие линии и поверхности будут оставаться вихревыми линиями и поверхностями, если в какой-либо момент они являются таковыми. Мы можем поэтому высказать следующую теорему:

Теорема. — Жидкая трубка, представляющая собой в начальный момент вихревую трубку, остается вихревой трубкой в течение всего времени движения, и ее момент постоянен.

505. Вихревая нить.

Вихревая нить есть вихревая трубка, сечение которой бесконечно мало. Пусть а есть нормальное сечение нити в какой-нибудь точке и — вихрь в той же

точке (так что вектор нормален к элементу ). Вихревая напряженность нити есть . Это произведение постоянно для всех сечений одной и той же нити и не изменяется с течением времени. Поэтому:

1°. В одной и той же вихревой нити, в один и тот же момент времени вихрь <о изменяется обратно пропорционально нормальному сечению нити.

2°. Если следовать за одной и той же жидкой частицей в ее движении и за нитью, содержащей эту частицу, то вихрь <о частицы изменяется обратно пропорционально нормальному сечению нити в том месте, где находится частица.

506. Заключение.

Из предыдущих теорем следует, что жидкие частицы, обладающие вихревым движением, располагаются в вихревые трубки, каждая из которых имеет постоянную напряженность. Если имеется часть жидкости, находящаяся в безвихревом движении, она никогда не смешивается с вихревой частью. Вихревые трубки будут замкнутыми кольцами или будут пересечены поверхностями разрыва. Эти поверхности могут быть стенками сосуда, содержащего жидкость. Они могут находиться также внутри жидкости, но в таком случае это будут поверхности разрыва (по крайней мере для производных скорости), так как значение вихря должно изменяться скачком при переходе через эту поверхность.

Не нужно забывать, что предыдущие свойства относятся к идеальным жидкостям, которые могут производить лишь нормальные давления. В действительных жидкостях всегда действуют касательные сопротивления, характеризующие вязкость жидкости. Трение о стенки и вязкость могут порождать или разрушать вихри.