§ 3. ИЗМЕНЕНИЕ ЖИВОЙ СИЛЫ В ТЕЧЕНИЕ УДАРА

312. Изменение живой силы системы, испытывающей удары.

Пусть Р есть какой-нибудь из ударных импульсов (как внутренних, так и внешних), приложенных к точке М материальной системы. Первое из уравнений (2) п° 308 может быть написано в виде

где суммирование распространяется на все удары, приложенные к точке М. Если обозначим через скорости точки непосредственно перед ударом и непосредственно после удара, то геометрическая разность

называется потерянной скоростью этой точки.

Уравнение (1) может теперь быть написано в виде

где . Умножим последовательно это уравнение на и сложим потом результаты почленно; получим

Напишем это уравнение следующим образом:

и сложим почленно с двумя аналогичными уравнениями в проекциях на оси у и z. Суммируя затем по всем точкам системы, получим

где двойная сумма распространена на все удары, приложенные к системе, как внутренние, так и внешние.

Левая часть есть живая сила, потерянная системой за время удара (потерянная живая сала системы).

В правой части есть живая сила, соответствующая потерянным скоростям всех точек системы (живая сила потерянных скоростей). Скалярное произведение ударного импульса на скорость точки, испытывающей удар (имеется в виду скорость непосредственно после удара, т. е. скорость, сохраненная этой точкой), называют мощностью удара Р. Пользуясь этими наименованиями, можем выразить последнее уравнение следующей теоремой:

Потерянная живая сила системы, внезапно подвергающейся ударам, равна живой силе, соответствующей потерянным скоростям всех точек системы, уменьшенной на сумму мощностей всех ударов, соответствующих скоростям, сохраненным их точками приложения после ударов.

Эта теорема занимает в теории удара место теоремы живой силы. Мощность ударного импульса играет здесь такую же роль, как работа в случае непрерывно действующей силы.

313. Системы со связями без трения. Теорема Карно.

Рассмотрим систему со связями, не зависящими от времени, в которой реакции связей могут производить удары. Связями без трения называют связи, в которых работа реактивных ударных импульсов, рассматриваемых как силы, равна нулю (как и работа реакций связи) на всяком перемещении системы, совместимом со связями.

Легко видеть, что связи, рассмотренные нами в статике при изучении принципа виртуальных перемещений, будут связями без трения в случае ударов, если они представляют собой связи без трения в случае непрерывных сил. Действие и противодействие двух точек, производящие равные и противоположные ударные импульсы, не дадут никакой работы на таком перемещении, при котором расстояние между точками не изменяется. Нормальная реакция неподвижной поверхности или неподвижной кривой может произвести лишь нормальный ударный импульс, она из даст поэтому никакой работы, если ее точка приложения движется по поверхности или по кривой. Точно так же, если различные

твердые тела скользят или катятся одни по другим, то работа ударных импульсов реакций обращается в нуль, как и работа самих реакций связей. Подобным же образом, если различные точки связаны гибкими и нерастяжимыми нитями, работа ударных импульсов реакций будет равна нулю, если только нити будут натянуты. Все эти заключения легко могут быть получены при помощи доказательств, подобных тем, которые применялись ранее в статике. Мы поэтому не будем здесь на них останавливаться.

Рассмотрим систему, на которую наложены связи, сохраняющиеся после удара. Точки, испытывающие удары, совершают после ударов действительные, следовательно, совместимые со связями элементарные перемещения. Поэтому для этих перемещений сумма работ ударных импульсов реакций, как только что было показано, равна нулю. Мощность удара Р можно представить как частное от деления элементарной работы удара на бесконечно малую продолжительность dt перемещения. Поэтому, разделив сумму работ на dt, получим сумму мощностей ударов связей, которая тоже равна нулю. Отсюда имеем следующую теорему:

Если система, подчиненная связям без трения, испытывает удары, то сумма мощностей (соответствующих скоростям после удара) ударных импульсов, произведенных связями, сохраняющимися после удара, равна нулю.

Эта теорема предполагает, что связи сохраняются после удара, но она не предполагает их существования до удара. Поэтому ее можно, в частности, применять к ударам, возникающим в системе при вызванном введении новых связей, сохраняющихся после удара. Это происходит, например, в том случае, если нить, связывающая отдельные части машины, внезапно натягивается, или когда приводится в действие двигатель, или же когда два твердых тела внезапно оказываются соединенными в одно тело, и т. д. Во всех этих случаях не возникает других ударов, кроме ударов связей, и, следовательно, сумма мощностей всех ударных импульсов равна нулю. Теорема, которой оканчивается предыдущий пункт, упрощается, и мы получаем следующий результат:

Теорема Карно. — Если материальная система испытывает удар благодаря внезапному введению новых связей, сохраняющихся после удара, то потерянная живая сила

системы равна живой силе потерянных скоростей всех ее точек.

Эта теорема показывает, что если возникает удар при внезапном введении связей, то неизбежно происходит абсолютная потеря живой силы системы и, следовательно, потеря видимой (кинетической) энергии, так как потенциальная энергия при ударе не изменяется. В результате, благодаря возникающим в системе колебаниям и деформациям и появлению тепловой энергии, происходит рассеяние энергии.