§ 5. СЛОЖНЫЙ СФЕРИЧЕСКИЙ МАЯТНИК

379. Сложный сферический маятник.

Мы предполагали до сих пор, что твердое тело есть тело вращения.

Рассмотрим теперь более общий случай, когда эллипсоид инерции относительно неподвижной точки имеет три неравные оси и когда центр тяжести тела занимает произвольное поло жение относительно этих осей. Будем называть такое тяжелое твердое тело, имеющее одну неподвижную точку, сложным сферическим маятником.

380. Дифференциальные уравнения движения сложного сферического маятника.

Как и прежде, возьмем три главные оси инерции Ох, Оу и Oz относительно неподвижной точки О в качестве подвижной системы осей, связанной с телом. Пусть — координаты центра тяжести Г относительно этих осей и — направляющие косинусы вертикали по отношению к тем же осям. Будем предполагать, что эта вертикаль направлена вниз, в противоположность тому, что мы делали до сих пор. Обозначим через Р вес тела. Уравнения Эйлера будут

Кроме того, нужно еще выразить то обстоятельство, что направление вертикали остается в пространстве неизменным. Напишем для этого, что абсолютная скорость точки постоянно равна нулю. Проекции этой скорости на оси равны суммам проекций скоростей относительной и переносной; отсюда способом, подобным тому, который приводит к уравнениям Эйлера, получаем

Уравнения (1) и (2) являются дифференциальными уравнениями движения маятника. Они представляют собой нормальную систему шести обыкновенных дифференциальных уравнений, связывающих шесть неизвестных функций и время. Эти уравнения позволяют произвольно выбрать начальные значения шести неизвестных функций.

Следует, однако, обратить внимание на то, что — направляющие косинусы и что, следовательно, имеется один известный частный интеграл, заданный a priori, а именно:

Полное интегрирование рассматриваемой системы представляет трудную задачу, и мы не будем ею заниматься. Мы ограничимся в нашем рассмотрении бесконечно малыми колебаниями маятника вокруг положения устойчивого равновесия. Покажем сначала, что при этом можно привести уравнения движения к линейной форме и найти их общее решение.

381. Бесконечно малые колебания маятника.

Пусть ОГ есть ось, проходящая через центр тяжести тела, и a, b, с — ее направляющие косинусы. В положении устойчивого равновесия ось ОГ совпадает с вертикалью (имеющей в теле направление ). Если ось ОГ отклонить очень мало от этой вертикали, то разности

будут весьма малыми величинами. Если предположить, что эти разности и составляющие мгновенной угловой скорости (о тела достаточно малы, чтобы можно было пренебречь их квадратами и парными произведениями (как если бы они были бесконечно малыми величинами), то предыдущие уравнения приведутся к системе линейных уравнений с постоянными коэффициентами без вторых частей. Такая система интегрируется классическими способами, и мы получим, следовательно, в конечной форме бесконечно малые колебания сложного сферического маятника.

Пусть l есть расстояние ОГ от неподвижной точки до центра тяжести, так что

Положим Пренебрегая членами второго порядка малости, как мы только что указали, приведем систему уравнений (1) и (2) к виду:

Эти линейные уравнения с постоянными коэффициентами и без вторых частей представляют собой шесть уравнений бесконечно малых колебаний маятника, о которых было сказано выше. В этом случае также имеется один первый интеграл, известный a priori. В самом деле, имеем откуда получаем соотношение

которое, пренебрегая квадратами величин можем привести к виду

382. Точное интегрирование линейной системы уравнений.

Система уравнений (4), (5) линейная и может быть проинтегрирована до конца. Оставляя пока в стороне то обстоятельство, что речь идет о маятнике, мы можем придать этим уравнениям точный кинематический смысл, не предполагая движение тела обязательно бесконечно малым.

С этой целью будем рассматривать как проекции мгновенной угловой скорости тела, а — как вспомогательные переменные, которым не будем пока приписывать никакого особого механического смысла. Тогда если а, b, с будут попрежнему обозначать направляющие косинусы некоторого заданного направления в теле, то уравнения (4) и (5) определят движение этого тела, обладающее замечательными свойствами. Мы изучим эти свойства, чтобы затем, переходя к пределу, применить их к бесконечно малому движению сложного сферического маятника.

Умножая уравнения - (4) на а, b, с соответственно и складывая их почленно, мы получим первый интеграл системы. В самом деле, мы приходим к непосредственно интегрируемому уравнению

отсюда имеем первый интеграл

(6)

Исключим из уравнений (4) и (5), чтобы получить соотношения, связывающие

С этой целью продифференцируем уравнение (4) по времени и заменим производные их значениями (5). Тогда получим

откуда, замечая, что имеем

Таким образом, система уравнений, связывающих функции , будет:

Попробуем найти, если окажется возможным, такие частные решения системы (7), чтобы вектор (о мгновенной угловой скорости сохранял постоянное направление в теле, а потому постоянное направление и в пространстве. Обозначим через постоянные направляющие косинусы вектора по отношению к телу; тогда будем иметь:

и уравнения (7) при этом предположении примут вид:

Докажем существование решений искомой формы. Первое искомое решение мы получим, полагая

так как эти значения тождественно удовлетворяют уравнениям (8). Это решение соответствует вращению с произвольной угловой скоростью вокруг прямой . Угловая скорость вращения прстоянна в силу соотношения (6), так как, подставляя в формулу (6) значения находим

Будем теперь искать решения, не обращающие в нуль Сложим уравнения (8), умножив их соответственно на а, b, с; получим

и, следовательно, так как не равно нулю,

Полагая

приведем систему (8) к виду:

Мы видим, что пропорциональны величинам а b с

подставляя эти величины в уравнение (9), получим

Это есть условие совместности по отношению к u, v, w уравнений (11). Уравнение (12) есть уравнение второй степени относительно s и может иметь два действительных и положительных корня таких, что

Если подставим значение одного из этих корней, или в систему (11), то система будет совместна. Мы получаем, таким образом, две системы решений, , которым соответствуют два постоянных направления векторов удовлетворяющие поставленной задаче. Величины векторов определяются уравнением (10); они удовлетворяют соответственно дифференциальным уравнениям второго порядка

Таким образом, движение тела вокруг той или другой из найденных неподвижных осей есть гармоническое колебание с периодом или в соответствии с рассматриваемой осью.

Задача интегрирования, таким образом, решена. Мы получили три частных решения уравнений Движения: одно из них дает вращение с постоянной угловой скоростью вокруг оси ОГ (это решение содержит одну произвольную постоянную), два других дают колебательные движения вокруг осей, наклоненных друг к другу (каждое из этих решений содержит две произвольные постоянные). Всего имеем, таким образом, пять произвольных постоянных. Так как уравнения относительно линейные и без правых частей, то общее решение системы можно получить в виде суммы найденных частных решений. Полученное таким способом решение будет содержать пять произвольных постоянных, что позволит произвольно задать начальные значения функций и двух их производных.

Найденное здесь решение является общим решением по отношению к функциям , так как производные этих функций связаны между собой одним соотношением, которое можно получить, дифференцируя равенство (6).

Система (4), (5) допускает еще одну произвольную постоянную. Эта шестая постоянная k войдет лишь в значения . Непосредственно видно, что она должна войти в качестве аддитивной постоянной, так как система уравнений (4), (5) воспроизводится прибавлением величин соответственно. Эта шестая постоянная в соединении с предыдущими позволяет произвольно выбрать начальные значения шести неизвестных системы.

Найденное решение обладает некоторыми геометрическими свойствами, достойными того, чтобы их здесь отметить.

383. Расположение неподвижных осей вращения в теле.

Подставим последовательно в уравнение (12) два его корня, и сложим результаты. После сокращения на общий множитель получим

В предыдущем пункте мы видели, что u, v, w пропорциональны величинам

Подставляя эти величины в предшествующее уравнение, получим

Это уравнение выражает то обстоятельство, что кинетические моменты соответствующие вращениям с направлениями (их, ) перпендикулярны друг к другу. Они перпендикулярны также к оси ОГ с направлением в силу соотношения (9) и, следовательно, образуют вместе с этой осью ортогональный триэдр.

С другой стороны, каждая из угловых скоростей и соответствующий кинетический момент (ОК) лежат в одной плоскости с осью ОГ. В самом деле, из уравнений (8) можно исключить три количества:

что приводит к следующему соотношению, которое и выражает указанное свойство:

Отсюда следует, что две угловые скорости лежат в двух взаимно перпендикулярных плоскостях, проходящих через ОГ. С другой стороны, в силу уравнения (9), обе они лежат в плоскости, сопряженной с направлением ОГ в эллипсоиде инерции. Три вектора и (ОГ) не лежат поэтому в одной плоскости.

384. Бесконечно малое движение сложного сферического маятника.

Выведенные нами в предыдущей задача свойства движения применяются к движению сложного сферического маятника при условии, что могут рассматриваться как бесконечно малые величины, квадратами и парными произведениями которых можно пренебречь. При такой степени приближения можно заменить ось бесконечно малого вращения бесконечно близкой к ней осью. Поступая так, мы можем заменить вращение вокруг оси ОГ вращением вокруг вертикали, плоскость, сопряженную с ОГ, — плоскостью, сопряженной с вертикалью, и плоскости, проходящие через ОГ и содержащие

угловые скорости вертикальными плоскостями, содержащими те же угловые скорости, но смещенные на бесконечно малую величину. Таким образом, мы получаем следующую теорему:

Бесконечно малое движение сложного сферического маятника представляет собой комбинацию трех одновременных простых движений: вращения с бесконечно малой постоянной угловой скоростью вокруг вертикали и двух бесконечно малых колебательных движений вокруг двух осей, наклоненных друг к другу и неподвижных в теле. Эти две оси лежат соответственно в двух взаимно перпендикулярных вертикальных плоскостях и обе расположены в плоскости, сопряженной с вертикалью в эллипсоиде инерции относительно неподвижной точки.