§ 3. ТЕОРЕМА ЖИВЫХ СИЛ

280. Живая сила системы. Теорема живых сил.

Если дана система материальных точек, то живая сила системы есть, по определению, сумма живых сил каждой из ее точек. Теорема живых сил для системы, так же как и для одной материальной точки, может быть сформулирована в дифференциальной или в конечной форме.

В дифференциальной форме теорема живых сил выражается следующим образом:

Дифференциал живой силы материальной системы равен сумме элементарных работ всех сил, действующих на систему, как внутренних, так и внешних.

Доказательство получаем непосредственно, применяя теорему живых сил к одной из точек системы. На основании динамики точки имеем

где сумма в правой части распространяется на все силы (внешние и внутренние), приложенные к рассматриваемой точке. Сложив все аналогичные уравнения для всех точек системы, получим

Левая часть представляет собой дифференциал живой силы системы, правая — сумму элементарных работ всех сил. Теорема, таким образом, доказана.

Проинтегрируем теперь по переменной t обе части предыдущего уравнения в пределах от до t; тогда

Это уравнение выражает теорему живых сил в конечной форме. Ее можно сформулировать следующим образом:

Изменение живой силы системы за конечный промежуток времени равно сумме работ всех сил (внутренних и внешних), приложенных к системе, за тот же промежуток времени.

281. Системы со связями без трения.

Рассмотрим материальную систему, на которую наложены связи без трения, не зависящие от времени. Эти связи могут входить в различные категории, изученные в статике при рассмотрении принципа виртуальных перемещений, например твердые тела, имеющие неподвижную ось или неподвижную точку, твердые тела, сочлененные между собою или скользящие одно по другому, и т. д. Связи могут также выражаться не зависящими от времени уравнениями между координатами различных точек системы или между этими координатами и их вариациями. Такие связи называются связями без трения или идеальными, если работа их реакций равна нулю для всякого перемещения, совместимого со связями. Работа реакций идеальных связей исчезает из уравнения живых сил, так как действительное перемещение совместимо со связями. Достаточно поэтому учитывать лишь работу других сил, представляющих собою силы прямо приложенные, или активные. Теорема живых сил принимает в этом случае следующую форму:

Если связи идеальные и не зависят от времени, то дифференциал живой силы системы равен сумме элементарных работ прямо приложенных сил. Изменение живой силы системы за конечный промежуток времени равно полной работе прямо приложенных сил за тот же промежуток времени.

Эта теорема может, например, быть применена к совершенно свободному твердому телу или также к твердому телу, имеющему неподвижную точку или неподвижную ось без трения. В этих случаях не приходится учитывать взаимные действия точек твердого тела друг на друга, а также реакции неподвижной точки, неподвижной оси и т. п.

282. Случай, когда существует силовая функция. Консервативные силы. Интеграл живой силы.

Будем говорить, что силы, действующие на материальную систему, имеют

силовую функцию, или что они консервативны, если сумма элементарных работ всех этих сил

есть полный дифференциал функции

координат точек системы. Эта функция (которая определена лишь с точностью до постоянной) называется силовой функцией. В этом случае теорема живой силы непосредственно дает первый интеграл движения. В самом деле, имеем

интегрируя, получаем уравнение

где h есть произвольная постоянная, называемая постоянной живых сил. Последнее соотношение представляет собой первый интеграл уравнений движения и носит название интеграла живых сил. Произвольная постоянная h определяется при помощи начальных данных движения:

283. Приложение к системам со связями без трения. Устойчивость равновесия.

Рассмотрим материальную систему, на которую наложены связи без трения. Реакции этих связей, как не совершающие работу, могут быть оставлены без внимания при применении теоремы живой силы. Предположим далее, что силы, прямо приложенные к системе, консервативны, и обозначим через () их силовую функцию. Интеграл живой силы принимает вид:

В динамике точки было установлено, что положения, в которых силовая функция принимает максимальные значения,

представляют собой положения устойчивого равновесия. Эту теорему легко обобщить.

Будем говорить, что данное положение несвободной материальной системы есть положение устойчивого равновесия, если можно удовлетворить следующим условиям: систему можно переместить из положения равновесия в любое достаточно близкое к нему положение и сообщить ей при этом такую достаточно малую живую силу, чтобы, будучи предоставлена действующим на нее силам, она как угодно мало удалялась от положения равновесия и сохраняла сколь угодно малую живую силу, какова бы ни была продолжительность движения.

При таком определении устойчивого равновесия системы мы имеем следующую теорему:

Теорема Лежен - Дирихле. - Положения материальной системы, для которых силовая функция движущих сил принимает максимальные значения, представляют собой положения устойчивого равновесия.

Силовая функция содержит добавочную произвольную постоянную. Определим эту постоянную таким образом, чтобы силовая функция обращалась в нуль в положении равновесия, тогда она будет отрицательна и не равна нулю во всяком положении, достаточно близком к положению равновесия. Будем рассматривать только такие достаточно близкие положения. В этом случае мы можем указать два сколь угодно малых положительных числа, и соответствующее ему , таких, чтобы было

как только какая-нибудь из точек системы удалится от ее положения равновесия на расстояние, большее, чем 8.

Поместим теперь систему в начальное положение, достаточно близкое к положению равновесия, чтобы имело место неравенство

и сообщим системе начальную живую силу

интеграл живой силы, написанный выше, дает нам

Таким образом, расстояние от любой точки системы до ее равновесного положения никогда не может сделаться равным b. Система может поэтому удалиться лишь сколь угодно мало от своего положения равновесия.

С другой стороны, функция отрицательна, вследствие чего имеем

т. е. живая сила системы тоже остается сколь угодно малой вместе с .

284. Работа силы тяжести. Устойчивость равновесия тяжелой системы.

Проведем ось z в направлении действия силы тяжести. Элементарная работа силы тяжести, действующей на точку с массой и с ординатой z, есть ; сумма элементарных работ для всех точек системы равна

Из этого уравнения следует, что вес является консервативной силой. Соответствующая силовая функция

Можно дать весьма простое выражение этой силовой функции, а следовательно, и работе силы тяжести, пользуясь понятием о центре тяжести системы.

Пусть — вертикальная ордината центра тяжести и М — полная масса системы; имеем

откуда

отсюда имеем, обозначая через Р общий вес системы,

Элементарная работа силы тяжести равна поэтому . Ее полная работа для перемещения системы, при котором изменяется от до есть

Таким образом, полная работа сил тяжести, действующих на материальную систему, равна весу системы, умноженному на расстояние, на которое опускается ее центр тяжести.

Рассуждения, приведенные в предыдущем пункте, и теорема Лежен-Дирихле непосредственно применяются при рассмотрении равновесия тяжелой системы, подчиненной связям без трения, если только на эту систему не действуют никакие другие движущие силы, кроме сил тяжести. В этом случае силовая функция получает наибольшее значение, когда центр тяжести системы занимает самое низкое возможное для него положение.

Отсюда имеем следующую теорему:

Еслч дана такая весомая система, на которую не действуют никакие другие движущие силы, кроме сил тяжести, и если существует такое положение (единственное) системы, для которого центр тяжести ее занимает самое низкое возможное для него положение, то рассматриваемое положение системы будет положением устойчивого равновесия.