§ 3. ПРИМЕНЕНИЕ КАНОНИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ К НЕКОТОРЫМ КЛАССИЧЕСКИМ ЗАДАЧАМ

453. Задачи с двумя степенями свободы.

Когда имеются лишь две обобщенные координаты, и Н не зависит от t, то известен a priori интеграл живых сил

и достаточно найти второй интегра не зависящий от t,

чтобы решение можно было закончить квадратурами. Действительно, значения полученные из предыдущих уравнений, обращают в полный дифференциал выражение

и отсюда можно получить квадратурами полный интеграл уравнения (1). Два остальных интеграла уравнений движения будут

Когда одна из координат q, например не входит в Н, то равно нулю. Тогда второй интеграл (2) получается непосредственно, так как канонические уравнения дают и этот интеграл есть т. е. задача решается квадратурами.

Мы рассмотрим сейчас две задачи, где эти условия выполняются.

454. Движение планеты.

Движение планеты можно рассматривать как движение в плоскости материальной точки, притягиваемой к неподвижному центру силой, изменяющейся обратно пропорционально квадрату расстояния. В этом случае имеем две степени свободы: k = 2.

Примем центр притяжения за полюс и будем определять положение движущейся точки в плоскости полярными координатами Связей в данном случае нет. Силовая функция есть

Массу точки можно считать равной единице. В этом случае живая сила имеет выражение

где в качестве обобщенных координат выбраны

Отсюда получаем значения в виде

Выражения Т, U в функциях канонических переменных имеют вид:

характеристическая функция равна:

Это выражение не содержит ни t, ни . Поэтому имеем непосредственно два интеграла которые можно написать в виде

Найдя отсюда значения

подставим их в выражение и проинтегрируем этот полный дифференциал. Получим полный интеграл уравнения (1):

Два последних интеграла уравнений движения, доставляемых формулами (3) предыдущего пункта, получим, выполняя дифференцирования функции по а и

Эти квадратуры легко выполняются. Уравнение (7) есть уравнение траектории, уравнение (8) определяет в функции от t положение точки на ее траектории.

455. Сферический маятник.

Сферический маятник представляет собой тяжелую материальную точку, которая может двигаться по сфере .

Пусть радиус сферы равен единице. Возьмем центр сферы за начало координат и направим ось z в сторону действия силы тяжести. Декартовы координаты х, у, z точки на сфере могут быть выражены через две обобщенные координаты по формулам:

Если массу точки принять равной единице, то силовая функция будет

Живая сила выражается в виде

Отсюда получаем значения

исключая из выражения живой силы, будем иметь

Выражение характеристической функции в канонических переменных будет

Это выражение не содержит ни t, ни поэтому непосредственно имеем два интеграла уравнений движения:

из которых первый есть интеграл живой силы.

Из этих двух уравнений получаем значения

которые обращают в полный диффзренциал выражение отсюда квадратурэй получим полный интеграл уравнения (9):

Два последних интеграла уравнений движения, определяемые формулами

получим, выполняя дифференцирования, в виде

(12)

Задача приведена, таким образом, к эллиптическим квадратурам.

Уравнение (11) есть уравнение траектории точки на сфере. Уравнение (12) определяет положение, занимаемое точкой в каждый момент на этой кривой.

456. Задача с тремя степенями свободы.

Предположим, что И не зависит от t. Прежде всего имеем интеграл живой силы

Если можно найти два новых интеграла уравнений движения или уравнения

не зависящих от t и связанных соотношением

то задача заканчивается квадратурами. Действительно, значения полученные из уравнений (13), (14), (15), обращают в полный дифференциал выражение

Отсюда квадратурой получим выражение полного интеграла уравнения (13), и тогда три последних интеграла уравнений движения будут:

Интегралы должны удовлетворять требованию, заключающемуся в том, что система уравнений (13), (14), (15) должна быть разрешима относительно ,

457. Движение по Пуансо.

Это есть движение твердого тела около неподвижной точки при отсутствии движущих сил.

Мы будем определять положение твердого тела посредством трех его главных осей инерции относительно неподвижной

точки и для ориентировки этого триэдра введем, как обычно, углы Эйлера

Обозначим через Р, Q, R прогкции мгновенной угловой скорости тела на три его главные оси инерции. Значения Р, Q, R будут (п°344):

Выберем в качестве обобщенных координат три угла Эйлера:

В этих обозначениях предыдущие уравнения примут вид:

Полная живая сила, как известно (п° 347), равна

где А, В, С — три главных момента инерции тела относительно неподвижной точки. Отсюда получаем

Заменяя частные производные от Р, Q, R их выражениями, полученными из соотношений (а), и поступая таким же образом для вычисления величин будем иметь:

Решая эту систему относительно АР, BQ и CR, получим:

Таковы выражения величин P, Q, R в функции от канонических переменных . Выражения эти не содержат переменной

Так как силовая функция равна нулю, то характеристическая функция Н приводится к Т. Общие теоремы живой силы и кинетического момента дают, как известно (п° 347), два первых интеграла уравнений движения:

где величины Р, Q, R следует считать замененными их значениями . Нужно найти третий интеграл общий для двух уравнений

Так как ни Н, ни не зависят от , то есть общий интеграл, и третьим интегралом уравнений движения будет

Значения полученные из уравнений (19), (20), и значение обращают в полный дифференциал выражение

Отсюда находим квадратурой, и три остальных интеграла определяются формулами (16), (17) и (18).

Применение этого метода встречает, однако, затруднение. Алгебраическое решение системы уравнений приводит к уравнению четвертой степени, и предшествующие вычисления вводят корни этого уравнения. Мы не будем останавливаться на этом осложнении вычислительного характера.

Твердое тело вращения. — Указанное затруднение не встречается, если твердое тело есть тело вращения или, в более общем случае, когда

Действительно, в этом случае можно исключить из уравнений (19) и (20), что приводит к уравнению

так как , то получаем

Таким образом, — постоянная, как и но эта постоянная зависит от а и

Соотношения дают

Уравнение (20) принимает поэтому вид:

где суть постоянные. Значение которое получаем из этого уравнения, зависит лишь от одной координаты и от постоянных a, b, h.

Выражение поэтому примет вид:

Три последних интеграла уравнений движения будут:

Это элементарные квадратуры, поэтому выполнение дальнейших вычислений не представляет интереса.