ЧАСТЬ СЕДЬМАЯ. МЕХАНИКА ЖИДКОСТЕЙ

ГЛАВА XXIII. ГИДРОСТАТИКА

§ 1. ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ ЖИДКОСТЕЙ

458. Жидкости.

Жидкостями называют тела, молекулы которых могут очень легко перемещаться одни относительно других, так что любая часть тела может изменять свою форму под действием Сколь угодно малых сил или даже самопроизвольно.

В теоретической механике, так же как в математической физике, действительные тела заменяют воображаемыми телами, относительно которых допускают непрерывное распределение материи. В действительных телах молекулы находятся на таких близких расстояниях между собой, что свойства этих тел хорошо совпадают с теми свойствами, которые получаются в результате вычислений для введенных таким образом фиктивных тел.

Жидкие тела разделяют на две категории: капельные, или. несжимаемые жидкости, и газы, или упругие жидкости. Капельные жидкости в таких условиях, как, например, вода, находящаяся в замкнутом сосуде под очень большим давлением, испытывают лишь весьма малые изменения объема и плотности, поэтому теоретически их рассматривают как абсолютно несжимаемые. Газы (как, например, воздух), наоборот, изменяют свой объем при самых незначительных изменениях давления и всегда стремятся занять наибольшее возможное пространство, целиком заполняя заключающие их сосуды.

Вязкие или полужидкие тела занимают промежуточное положение между жидкостями и недеформируемьши телами.

Пары представляют собой промежуточные тела между капельными жидкостями и газами и тем более по своим свойствам приближаются к газам, чем более удалены от состояния насыщения (точки конденсации). Изучение этих промежуточных.

тел скорее относится к термодинамике и не может здесь найти себе места. Мы будем заниматься здесь лишь совершенными капельными жидкостями и газами. Следует еще раз обратить внимание на то, что мы будем иметь дело с условными телами, определенными их идеальными свойствами, и что естественные тела обладают этими свойствами лишь в относительной степени.

459. Давления в жидкости.

Совершенные жидкости определяются с математической стороны тем, что они могут производить лишь нормальные давления. Мы сейчас объясним, что под этим нужно понимать. Для этого следует рассмотреть давление, производимое жидкостью на стенку, к давление внутри жидкости.

Рассмотрим сначала давление на стенку. Пусть имеем жидкую массу, заключенную в сосуд или оболочку произвольной, но неизменяемой формы. На поверхности оболочки, соприкасающейся с жидкостью, возьмем элемент поверхности настолько малый, чтобы его можно было приближенно рассматривать как плоский. Частицы жидкости, весьма близкие к производят на частицы оболочки, также весьма близкие к молекулярные действия, которые, как мы уже знаем, имеют заметную величину лишь на чрезвычайно малых расстояниях. Условимся считать, что это свойство имеет место лишь в пределе, на поверхности элемента, и будем рассматривать молекулярные действия как контактные, т. е. как действия, происходящие лишь на поверхности элемента между теми частицами жидкости и стенки, которые касаются друг друга вдоль этого элемента. Силы, с которыми жидкость действует на элемент стенки, будут иметь, по предположению, в случае совершенной жидкости равнодействующую Р, нормальную к элементу

Эта равнодействующая Р есть полное давление жидкости на элемент и, как мы только что сказали, это давление предполагается нормальным. Разделив Р на мы получим среднее давление на элемент Предел этого среднего давления, когда элемент бесконечно уменьшается и стягивается к данной точке М стенки, есть давление в точке М. Мы будем обозначать это давление через р. Тогда полное давление Р, производимое на элемент есть Вообще говоря, давление направлено наружу от жидкости (или по направлению к стенке); мы имеем в этом случае давление в собственном смысле.

Для газов может иметь место только этот случай, но для капельных жидкостей вектор может иметь противоположное направление. Мы не будем, однако, рассматривать этот случай, и во всем дальнейшем изложении будем иметь в виду лишь давление в собственном смысле. Поэтому давление как для капельных жидкостей, так и для газов будет рассматриваться нами как величина существенно положительная.

Теперь мы можем обратиться к изучению давления внутри жидкости.

Возьмем точку М внутри жидкости. Выделим очень малый объем со жидкости, содержащий точку М, и проведем через эту точку плоскость произвольной ориентации. Весьма малый элемент этой плоскости окажется внутри объема и разделит его на две части Обозначим площадь этого элемента через . Массы жидкости, заключенные соответственно в оказывают друг на друга через плоский элемент взаимные действия. Допустим, что эти действия приводятся к действиям по поверхности соприкосновения масс жидкости в объемах (контактные действия) точно такого же характера, как если бы один из объемов был заменен стенкой. В силу принципа равенства действия и противодействия, обе части жидкости оказывают друг на друга равные и прямо противоположные действия Р, направленные, кроме того, по нормали к элементу Предел отношения Р к и в этом случае обозначается через и называется давлением в точке М (в направлении нормали к ). Давление Р на элемент будет При этом допускают, что это есть давление в собственном смысле, т. е. что оно стремится оттолкнуть друг от друга частицы, находящиеся в соприкосновении.

Всегда предполагают, что давление в любом определенном направлении изменяется непрерывно при изменении положения точки М и что (кроме некоторых исключений) это есть дифференцируемая функция от координат. Мы сейчас покажем, что давление в одной и той же точке должно иметь одинаковую величину во всех направлениях вокруг этой точки.

460. Принцип равенства давления во всех направлениях в жидкости.

Проведем через точку М жидкости две различные произвольные плоскости (Р) и и покажем, что давления в топке М, нормальные к этим плоскостям, равны

между собой. Это есть следствие гипотезы, что давления нормальны к плоскостям. Равновесие жидкости в этом случае возможно лишь при указанном условии. Докажем это. Выделим мысленно часть жидкости, содержащую точку М и ограниченную прямой призмой с треугольным основанием ABC. Обозначим через а, b, с площади трех боковых граней призмы и терез А, В, С — углы между этими гранями (соответствующие углам треугольника ABC в основании призмы). Пусть будут средние давления на грани а и b. Предположим сначала, что нет сил, приложенных к жидкости. Тогда для равновесия призмы необходимо, чтобы проекции на ребро АВ призмы полных давлений (направленных по нормалям к граням а и b) были равны и прямо противоположны, так как остальные давления, действующие на призму, нормальны к ребру АВ. Это дает нам условие

откуда так как (из треугольника ABC). Расположим грани а и b параллельно двум плоскостям (Р) и и будем приближать все размеры призмы к нулю. Тогда средние давления будут стремиться (вследствие непрерывности) к давлениям в точке М, нормальным соответственно к плоскостям (Р) и Следовательно, давления в точке М равны друг другу.

Это заключение остается справедливым и в том случае, когда имеются силы, прямо приложенные к точкам жидкости (как, например, сила тяжести). Действительно, эти силы всегда предполагаются непрерывными и порядка величины тех масс, к которым они приложены. Поэтому результирующая этих внешних сил, действующих на призматическую массу жидкости, имеет также порядок величины объема призмы. Наоборот, давления на грани имеют порядок величины площади грани. Когда призма становится бесконечно малой, то объем становится бесконечно малым по сравнению с площадью полной поверхности призмы. Поэтому внешними (приложенными) силами можно пренебречь по сравнению с давлениями, так как они являются бесконечно малыми более высокого порядка.

461. Уравнения равновесия жидкости.

Пусть есть платность жидкости в точке М с координатами относительно трех прямоугольных осей; пусть, далее,

составляющие внешней силы, действующей на точку М жидкости и отнесенной к единице массы, и, наконец, - внутреннее давление жидкости в точке М. Эти величины, вообще говоря, изменяются вместе с положением точки М и являются функциями от х, у, z.

Выделим в жидкости бесконечно малый параллелепипед с центром в точке М и с ребрами (длиной соответственно ), параллельными осям. Пусть есть его объем и — площадь граней, нормальных к оси х.

Определим условия равновесия этого элемента как условия равновесия простой материальной точки. Выразим то обстоятельство, что сумма проекций на ось Ох сил, действующих на параллелепипед, равна нулю.

Составляющая внешней силы есть

Средние давления на грани, нормальные к совпадают с давлениями в центрах этих граней, так как давление (предполагаемое дифференцируемым) изменяется в бесконечно малом пространстве по линейному закону. Проекции этих средних давлений на ось Ох будут поэтому

где есть давление в точке М. Проекции полных давлений на грани, нормальные к равны соответственно

Проекции на ось Ох давлений на другие грани равны нулю. Поэтому имеем уравнение

Но . Мы получили, таким образом, первое из следующих трех уравнений (два других получаются аналогичным способом), представляющих собой уравнения равновесия:

Эти уравнения должны удовлетворяться в каждой точке жидкости, находящейся в равновесии. Умножим их соответственно на и сложим между собой. Тогда получим (так как зависит лишь от координат

Это уравнение в полных дифференциалах эквивалентно трем предыдущим уравнениям с частными производными, на которые оно распадается, так как х, у, z суть независимые переменные. Мы увидим, что это уравнение может иметь место лишь в том случае, когда внешние силы (X, Y, Z) удовлетворяют определенным условиям.

462. Поверхности уровня.

Давление в общем случае есть функция координат х, у, Z и изменяется в жидкости от точки к точке. Если жидкость находится в равновесии, то поверхности, вдоль которых давление остается постоянным, называются поверхностями уровня. Для каждой такой поверхности выполняется условие . Дифференциальное уравнение поверхностей уровня имеет поэтому, на основании соотношения (2), следующий вид:

Это есть уравнение в полных дифференциалах, выражающее то обстоятельство, что внешняя сила, приложенная к точке жидкости в случае равновесия, нормальна к поверхности уровня, проходящей через эту точку.

Жидкость не всегда бывает со всех сторон ограничена стенками твердого сосуда. Таков случай жидкости, содержащейся в сосуде и имеющей свободную поверхность, на которую действует внешнее давление воздуха. Если это внешнее давление постоянно, то для равновесия необходимо, чтобы свободная поверхность была поверхностью уровня.

463. Случай, когда внешняя сила (X, Y, Z) имеет силовую функцию.

Говорят, что внешняя сила имеет силовую функцию, если проекции силы X, Y, Z являются частными производными соответственно по х, у, z функции U(х, у, z)

от этих координат. Функция U есть силовая функция. В этом случае имеем

Уравнение равновесия (2) принимает вид:

Необходимо поэтому, чтобы выражение у было полным дифференциалом, а для этого нужно, чтобы плотность зависела только от . Таким образом, в случае равновесия плотность жидкости может зависеть лишь от давления. Это условие, очевидно, выполняется в случае капельных жидкостей, так как для них плотность постоянна.

Для газа при постоянной температуре закон Мариотта дает соотношение

где у — коэффициент, зависящий лишь от температуры и постоянный вместе с температурой. Требуемое условие, таким образом, выполнено. Уравнение равновесия при постоянной температуре имеет поэтому вид:

откуда, интегрируя, получаем

Когда внешние силы имеют силовую функцию, то дифференциальное уравнение поверхностей уровня, в силу уравнения (4), будет

Их уравнение в конечной форме есть поэтому

Таким образом, поверхности уровня суть поверхности, на которых силовая функция остается постоянной.

Обратно, в капельной жидкости или в газе при постоянной температуре равновесие возможно лишь в том случае, когда

внешние силы имеют силовую функцию. Действительно, так как левая часть уравнения (2) в указанных случаях есть полный дифференциал, то правая часть также должна быть полным дифференциалом.

464. Равновесие тяжелой жидкости.

Возьмем плоскость горизонтально и направим ось z в сторону действия силы тяжести. Внешней силой является сила тяжести, имеющая си ловую функцию Уравнение равновесия (4) будет в этом случае

а уравнение поверхностей уровня

Следовательно, в тяжелой жидкости, находящейся в равновесии, поверхности уровня суть горизонтальные плоскости.

При этом предполагагтся, что силу тяжести можно рассматривать как постоянную по величине и направлению во всем пространстве, занятом жидкостью, и, следовательно, что это пространство не должно быть слишком велико.

Когда равновесие имеет место, то выражение dz, на основании уравнения (5), есть полный дифференциал, что требует, чтобы плотность зависела только от z (но не от ). Таким образом, в тяжелой жидкости, находящейся в равновесии, плотность постоянна на одной и той же поверхности уровня.

Плотность может изменяться вместе с z. Можно даже допустить, что она изменяется прерывно, как это имеет место при равновесии нескольких (несмешивающихся) капельных жидкостей, расположенных друг над другом.

Проинтегрируем уравнение (5). Обозначая через давление при получим

Но есть объем, — масса и — вес элемента массы жидкости, содержащейся в вертикальном столбе с площадью

основания, равной единице, и с высотой Поэтому полученный интеграл представляет собой вес столба жидкости с основанием 1 и с высотой Следовательно, разность давлений жидкости на двух различных уровнях равна весу столба жидкости с поперечным сечением 1, заключенного между этими уровнями.

В частности, если жидкость однородная, т. е. имеет постоянную плотность , то имеем

В этом случае давление изменяется пропорционально глубине.