§ 3. УДАРЫ, ПРИЛОЖЕННЫЕ К ТВЕРДОМУ ТЕЛУ, ИМЕЮЩЕМУ НЕПОДВИЖНУЮ ОСЬ

341. Определение реакций опор и движения тела после удара.

Предположим, как в п° 334, что неподвижность оси достигается закреплением двух точек тела О и О. Примем точку О за начало трех прямоугольных осей Oxyz и направим ось Oz по прямой Пусть координата точки О будет а.

Обозначим через X, Y, Z суммы проекций на три координатные оси ударов, прямо приложенных к телу;

через результирующие моменты этих ударов относительно тех же осей; через U, V, W — проекции ударной реакции в точке О и через аналогичные величины для точки О. Для определения движения тела и ударов в неподвижных точках применяем теоремы количеств движения и моментов количеств движения (п° 309, 311), которые дают шесть следующих уравнений, аналогичных уравнениям п° 334:

Пусть M — масса тела, w — его угловая скорость, — координаты его центра тяжести и момент инерции тела относительно неподвижной оси. Уравнения (1), (3) и (4) п°334 дают:

Так как перемещением тела за время удара мы пренебрегаем, то шесть уравнений движения на основании только что написанных соотношений получают вид:

Последнее уравнение определяет , т. е. изменение угловой скорости, происходящее вследствие удара. Далее, два предыдущих уравнения определяют U и V, после чего два первых уравнения дают U и V. После этого остается только одно уравнение, третье, из которого находим

следовательно, в данном случае нельзя определить отдельно обе составляющие W и W ударных реакций опор.

342. Центр удара.

Определим, при каких условиях неподвижная ось не испытывает Ударов. Рассматриваем при этом

только тот случай, когда неподвижная ось является главной осью инерции тела для одной из ее точек, предполагая, что эта точка выбрана в качестве точки закрепления О. В этом случае имеем

С другой стороны, плоскость можно провести через центр тяжести в его положении в момент удара, так что будет Полагая тогда в уравнениях движения реакции равными нулю, приходим к системе:

Отсюда получаем требуемое условие:

Следовательно (п° 26), ударные импульсы могут быть заменены равнодействующей (Х, У, Z). Эта равнодействующая должна быть параллельна оси у (так как и лежать в плоскости (так как ). Поэтому она будет приложена в точке оси Ох перпендикулярно к плоскости Пусть I есть расстояние этой точки приложения от точки О; имеем и, на основании предыдущих уравнений,

Таким образом, единственный ударный импульс должен пересекать ось Ох на расстоянии от неподвижной оси, в точности равном длине простого маятника, синхронного с тем физическим маятником, который мы получили бы, заставляя тело колебаться, под действием силы тяжести, около его неподвижной оси, в предположении, что она горизонтальна. Соответствующая точка на оси Ох называется центром удара.

Отсюда мы можем вывести следующее заключение:

Если неподвижная ось есть главная ось инерции тела для одной из ее точек О, то для того, чтобы эта ось не испытывала ударов, необходимо и достаточно, чтобы удары, приложенные к телу, имели равнодействующую, нормальную

к плоскости, проходящей через ось и через центр тяжести, и чтобы эта равнодействующая проходила через центр удара.

Центр удара лежит в указанной выше плоскости на перпендикуляре к неподвижной оси, восставленном из точки О, на том же расстоянии и с той же стороны от этой оси, как и центр колебаний тела, когда последнее колеблется, как физический маятник, около той же неподвижной оси. (Предполагаем, что ось при этих колебаниях расположена горизонтально.)

Теория центра удара предполагает, что неподвижная ось есть главная ось инерции для одной из ее точек, что не является общим случаем. Легко убедиться, что в общем случае ось не испытывает ударов, если удары, приложенные к телу, не имеют равнодействующей, и что, следовательно, в этом случае не может быть центра удара. Мы, однако, не будем приводить здесь доказательства этого положения.