§ 2. РАЗЛИЧНЫЕ ПРИМЕРЫ ДВИЖЕНИЯ СВОБОДНОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА

410. Тяжелое твердое тело в пустоте.

Движение центра тяжести твердого тела представляет собой движение тяжелой точки в пустоте. Центр тяжести описывает поэтому параболу с вертикальной осью. Внешние силы имеют равнодействующую (вес тела), приложенную в центре тяжести, момент которой относительно этой точки равен нулю. Движение твердого тела около своего центра тяжести совпадает с движением тела около неподвижной точки в случае отсутствия внешних сил. Таким образом, это движение является движением по Пуансо.

411. Движение планеты, составленной из концентрических однородных сферичесхих слоев.

В теории потенциала доказывается, что в рассматриваемом случае силы ньютонова притяжения от внешней точки, действующие на планету, имеют единственную равнодействующую, приложенную в центре тяжести планеты, и эта равнодействующая такова, как если бы вся масса планеты была сосредоточена в этом центре. Таким образом, силы притяжения со стороны Солнца и других планет имеют единственную равнодействующую, приложенную в центре тяжести планеты. Если учитывается только действие Солнца, то центр тяжести планеты движется по траектории, представляющей собой коническое сечение, одним из фокусов которого является Солнце. Движение планеты около своего центра тяжести есть движение по Пуансо. При нашем предположении эллипсоид инерции приводится к сфере, все диаметры которой являются главными осями инерции, а следовательно, представляют собой постоянные оси вращения. Движение планеты около своего центра тяжести приводится поэтому к равномерному вращению вокруг оси, имеющей постоянное направление в планете и в пространстве. В этом случае мы не имеем явлений прецессии и нутации.

412. Планета, имеющая экваториальное утолщение.

Предположим для определенности, что речь идет о Земле. Допустим, с целью упрощения, что земной шар состоит из ядра, составленного из однородных сферических слоев (как в предыдущем случае), и из экваториального утолщения, образованного однородным слоем, наложенным на ядро. Вследствие большой удаленности от Солнца действие его на добавочный слой почти одинаково во всех точках последнего, и равнодействующую этих отдельных сил можно с большой точностью считать приложенной в центре тяжести О Земли. Движение Земли около ее центра тяжести приводится поэтому с большой точностью к равномерному вращению вокруг ее оси, направление которой, наклоненное к плоскости эклиптики, остается почти неизменным в пространстве.

Однако это есть лишь первое приближение; действие Солнца не одно и то же во всех точках экваториального утолщения: оно несколько больше в части слоя, ближе расположенной к Солнцу. Если центр тяжести О Земли взять за центр приведения, то мы получим пару сил и, следовательно, возмущение того простого движения, на которое мы указали выше.

Пусть Oz есть ось вращения Земли и -перпендикуляр к плоскости эклиптики, проведенный в ту сторону, где он образует с осью Oz острый угол. Направление оси неизменно в пространства. Вследствие симметрии действие Солнца на добавочный слой приводится к одной силе, приложенной к оси проходящей через полюсы, попеременно то с одной, то с другой стороны от точки О, так как точка приложения находится со стороны той половины добавочного пояса, которая ближе расположена к Солнцу. Отсюда следует, что эта сила, действующая то с одной стороны, то с другой от точки О, все время стремится приблизить экваториальную плоскость к плоскости эклиптики или, что сводится к тому же, приблизить ось Oz к нормали Ozx к этой плоскости. Момент G этой силы относительно точки О направлен, таким образом, все время в одну и ту же сторону от плоскости . Поэтому, в силу принципа стремления осей вращения к параллельности, ось Oz, проходящая через полюсы, перемещается к вектору G и приводит плоскость во вращение вокруг перпендикуляра к эклиптике, направленное постоянно в одну и ту же сторону. Если пренебречь периодическими возмущениями, которые испытывает земная ось в плоскости то эта ось опишет конус вокруг Это весьма медленное прецессионное движение земной оси вокруг перпендикуляра к плоскости эклиптики вызывает явление предварения равноденствий. Продолжительность полного обращения земной оси вокруг нормали к эклиптике составляет около 25 000 лет. Отсюда видно, что явление предварения равноденствий происходит вследствие асимметричного действия Солнца на экваториальное утолщение Земли.

413. Движение вращающегося цилиндро-конического снаряда.

Рассмотрим теперь движение артиллерийского снаряда цилиндро-конической формы, которому посредством взрыва пороха сообщается весьма большая скорость поступательного движения, направление которой в момент вылета снаряда очень мало отклоняется от направления оси канала ствола орудия и от оси самого снаряда. Снаряд в то же время совершает весьма быстрое вращательное движение вокруг своей оси. Он движется в воздухе, представляющем собой сопротивляющуюся среду, и задача заключается в том, чтобы изучить эффект, производимый этим сопротивлением.

Движущие силы приводятся к весу снаряда, приложенному в его центре тяжести, и к равнодействующей давлений воздуха, испытываемых передней поверхностью снаряда. Если бы снаряд не вращался, то эти давления были бы симметричны относительно плоскости, проходящей через ось тела и через вектор скорости его центра тяжести, и имели бы равнодействующую в этой же плоскости.

Допустим, что вращение снаряда не вносит существенных изменений в это заключение. Мы будем предполагать, следовательно, что равнодействующая давлений воздуха, лежащая в вертикальной плоскости, содержащей вектор скорости центра тяжести, приложена к оси снаряда и что точка приложения этой равнодействующей лежит немного впереди центра тяжести, так что равнодействующая стремится опрокинуть снаряд.

Движение центра тяжести представляет собой движение тяжелой точки, имеющей массу тела и находящейся под действием равнодействующей давлений воздуха, направленной почти прямо противоположно скорости центра.

Центр тяжести описывает поэтому траекторию, расположенную почти строго в вертикальной плоскости и обращенную своей вогнутостью вниз (но отличную от параболы). Будем предполагать, что эта траектория близка к горизонтали и очень вытянута, т. е. имеет малую стрелу прогиба. Так как влияние сопротивления воздуха на движение снаряда значительно превосходит влияние веса, то скорость центра тяжести с течением времени убывает.

Изучим теперь движение снаряда относительно его центра тяжести.

Сначала рассмотрим самый простой случай: траектория настильная, почти прямолинейная. Направление скорости центра тяжести будем при этом считать неизменным.

Относительное движение снаряда около его центра тяжести определяется равнодействующей давлений воздуха, приложенной к оси снаряда и пересекающей постоянное направление скорости центра тяжести. При этом возникает гироскопический эффект, ось тела совершает коническое движение вокруг постоянного направления скорости центра и составляет, следовательно, с осью траектории угол, который все время остается весьма малым и равным своему начальному значению (значению при вылете).

Заметим, что это заключение оказывается весьма точным и вытекает из анализа, выполненного в предшествующей главе. Действительно, сопротивление воздуха можно рассматривать как консервативную силу, прогрессивно убывающую (п°391).

Если бы скорость поступательного движения была постоянна, то величина силы зависела бы лишь от наклона оси снаряда к траектории и сила была бы консервативна. Если же скорость убывает, то постоянно убывает и сила сопротивления и гироскопический эффект оказывается таким же, как и в предыдущем случае.

Полученная таким образом устойчивость оси снаряда по отношению к его переносному движению имеет большое значение для точности стрельбы. Снаряд оказывается при этом в неизменных условиях по отношению к воздуху, в смысле оказываемого последним сопротивления, что увеличивает дальность полета.

В этих рассуждениях не приняты во внимание изменения в направлении поступательного движения, между тем как траектория, описываемая в действительности центром тяжести, слегка искривлена.

Займемся теперь определением влияния кривизны траектории центра тяжести.

При определении движения тела около его центра тяжести отнесем тело к трем прямоугольным осям Oxyz, проходящим через этот центр, но изменяющим свое направление. Расположим для каждого момента оси в вертикальной плоскости: ось Oz — по касательной к траектории в сторону движения, ось — перпендикулярно к первой. Ось Ох направим горизонтально в ту сторону, чтобы вращение неподвижного триэдра Oxyz вокруг оси Ох происходило в направлении против часовой стрелки.

Это вращение системы отсчета вдоль траектории предполагается медленным. Если им пренебречь, то предыдущее рассуждение может быть применено без всякого изменения к относительному движению снаряда в подвижной системе. Ось снаряда описывает в этом движении очень узкий конус вокруг вектора скорости центра тяжести и очень мало отклоняется от касательной к траектории. Предыдущие рассуждения сохраняют свою силу без изменения.

Для учета медленного вращения подвижной системы отсчета вокруг горизонтальной оси Ох нужно применить принцип стремления

осей вращения к параллельности в относительном движении (п° 396). Для этого нужно приложить фиктивную силу, которая стремится привести ось вращения снаряда к совпадению с осью Ох переносного вращения. Мы получаем при этом медленное вращение оси снаряда вокруг вертикали влево или вправо от стреляющего, смотря по тому, в какую сторону происходит вращение снаряда вокруг своей оси. Среднее направление давления воздуха отклоняется вследствие этого от направления переносного движения и заставляет снаряд отклониться в сторону, влево или вправо от плоскости стрельбы, в соответствии с направлением вращения, сообщенного снаряду. В этом заключается явление деривации вращающихся снарядов. Следует, однако, заметить, что имеется ряд других причин, оказывающих влияние на деривацию снарядов.