§ 2. ТЕОРЕМЫ ДЮПЕНА

475. Определения.

Плавающим телом называют тяжелое твердое тело, вес которого меньше веса воды в объеме тела. Плавающее тело может быть полым или даже открытым в своей верхней части, как это имеет место для небольших судов. В последнем случае условимся рассматривать лишь такие

положения тела, при которых оно не может зачерпывать воду. Кроме того, мы будем предполагать, что поверхность плавающего тела выпуклая, по крайней мере во всей той части, которую жидкость может смачивать, и наконец, что поверхность, смачиваемая жидкостью, изменяется непрерывно вместе с изменением ориентации тела.

Плоскостью плавания называют плоскость, пересекающую тело и отделяющую от него такой объем V, что вес такого же объема воды равен полному весу Р тела.

Сечение тела плоскостью плавания есть плоская фигура, которую называют площадью плавания.

Легко убедиться в том, что каждой ориентировке. плавающего тела около его центра тяжести Г соответствует одна и только одна плоскость плавания. Действительно, если мы будем опускать тело в воду с сохранением постоянной ориентировки его в пространстве, то объем погруженной части тела будет постоянно увеличиваться от 0 до объема всего тела: вес вытесненного объема воды обязательно сделается равным, и притом только один раз, весу всего плавающего тела.

Воображаемый объем V, отделяемый от плавающего тела плоскостью плавания, называется вытесненным объемом (са-гёпе). Центр тяжести вытесненного объема называется центром вытесненного объема. Мы будем обозначать его через С. Плоскости плавания, отделяющие одинаковые по величине вытесненные объемы и соответствующие различным ориентировкам плавающего тела, называются изокаренными.

Рассмотрим совокупность одинаковых по величине вытесненных объемов V, отсеченных изокаренными площадями плавания, соответствующими различным ориентировкам тела (около его центра тяжести). Каждый из этих вытесненных объемов имеет свой центр С. Геометрическое место этих центров вытесненных объемов есть поверхность, неизменно связанная с телом и называемая поверхностью центров. Мы будем обозначать эту поверхность через (С).

Мы увидим далее, что эта поверхность играет существенную роль в равновесии плавающего тела, так как условия равновесия оказываются такими же, как если бы плавающее тело опиралось на горизонтальную плоскость поверхностью центров. Для доказательства этого положения необходимо опираться на некоторые теоремы, к выводу которых мы теперь и переходим.

476. Первая теорема Дюпена.

Поверхность центров представляет собой выпуклую поверхность, и плоскость, касательная к этой поверхности в центре С вытесненного объема, параллельна соответствующей плоскости плавания.

Возьмем определенный центр вытесненного объема С и ориентируем тело таким образом, чтобы соответствующая площадь плавания (F) была горизонтальна. Рассмотрим в ориентированном таким образом теле другую площадь плавания (F), и пусть С есть соответствующий центр вытесненного объема. Можно доказать, что точка С будет выше, чем С. В самом деле, площадь плавания (F) отделяет от тела такой же объем V, как и площадь (F), поэтому (F) пересекает (F) и добавляет к прежнему объему V новый объем над площадью (F), равный объему, который она отсекает от прежнего объема ниже площади (F). Новый вытесненный объем отличается от прежнего лишь тем, что часть элементов прежнего оказалась перемещенной выше, благодаря чему новый центр тяжести С окажется выше, чем С. Поэтому так как точка С есть самая нижняя точка поверхности (С), то плоскость, касательная к поверхности в этой точке, горизонтальна, т. е. параллельна площади (F). Наконец, поверхность (С) (как геометрическое место точек С) вся лежит над своей касательной плоскостью, т. е. по одну ее сторону (какова бы ни была эта плоскость). Следовательно, эта поверхность выпуклая.

477. Вторая теорема Дюпена.

Прямая пересечения пмскости плавания с бесконечно близкой к ней изокаренной плоскостью плавания (ось наклона) проходит через центр тяжести соответствующей площади плавания.

Примем площадь плавания (F) за плоскость и прямую пересечения ее с бесконечно близкой площадью плавания (F) за ось у. Рассмотрим на площади плавания (F) бесконечно малый элемент площади с абсциссой Этот элемент есть основание бесконечно малого призматического объема, заключенного между двумя площадями плавания (F) и с высотой где есть бесконечно малый угол между площадями (F) и (совпадающий со своим синусом). Величина этого элемента объема есть . Два объема, заключенные между площадями (F) и и расположенные по разные стороны от оси Оу, составлены каждый из таких элементарных

призм. Абсциссы положительны по одну сторону от Оу и отрицательны по другую сторону. Рассматриваемые объемы выражаются поэтому в виде следующих двух интегралов (распространенных соответственно на две части площади плавания, разделенные осью Оу):

Оба рассматриваемых объема равны друг другу. Поэтому разность двух предыдущих интегралов равна нулю, т. е. имеем

где интеграл распространен теперь на всю площадь плавания (F). Этим равенством как раз и выражается условие того, чтобы ось Оу проходила через центр тяжести

478. Третья теорема Дюпена.

Метацентр, соответствующий точке С поверхности центров и заданному направлению СС на этой поверхности, находится от точки С на расстоянии, равном , где V есть вытесненный объем, момент инерции соответствующей площади плавания относительно оси наклона.

Пусть - две изокаренные площади плавания, соответствующие двум бесконечно близким центрам С и С; ось наклона, по определению, есть предельное положение линии их пересечения.

Как и в предыдущем доказательстве, примем площадь плавания (F) за плоскость и ось наклона за ось у. Проведем ось z перпендикулярно к площади плавания (F) (фиг. 59). Пусть V и V будут два одинаковых по величине вытесненных объема, далее v и - объемы двух частей, заключенных между двумя площадями (F) и (F) и имеющих абсциссы противоположных знаков, положительные в объеме v и отрицательные в объеме v. Пусть X и X — абсциссы центров вытесненных объемов соответствующих площадям плавания (F) и Имеем

отсюда, вычитая, получим

Объемы составлены из призматических элементов, имеющих в основании элементы площади плавания (F) и равных по величине где есть угол между двумя площадями плавания (как это было показано в предыдущем пункте).

Фиг. 59

Поэтому будем иметь

где есть момент инерции площади плавания относительно оси наклона Оу.

Нормали к поверхности (С) в точках С и С являются в то же время нормалями к плоскостям плавания и образуют между собой же бесконечно малый угол , как и между этими плоскостями. Этот угол есть в то же время угол наклона к оси . Кратчайшее расстояние между нормалями параллельно оси наклона Следовательно, имеют одну и ту же абсциссу X, так что есть проекция на ось Ох. Так как проектирование выполняется параллельно оси Oz, то

Подставляя это значение в предыдущее уравнение и сокращая на общий множитель , мы и получим соотношение, которое требовалось вывести:

так как имеют один и тот же предел.

479. Теорема.

Главные радиусы кривизны поверхности центров в точке С равны соответственно:

где А и В — главные моменты инерции площади плавания относительно ее центра тяжести.

Действительно, главные радиусы кривизны представляют собой крайние значения величины для различных направлений оси наклона. Мы их получим, давая крайние значения для величины представляющие собой главные моменты инерции площади плавания.