§ 2. УДАРЫ, ПРИЛОЖЕННЫЕ К МАТЕРИАЛЬНОЙ СИСТЕМЕ. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ОБЩИХ ТЕОРЕМ

308. Внутренние и внешние удары.

Общие теоремы динамики легко распространяются на удары. Прежде всего необходимо сохранить основное различие между силами внутренними и внешними и в соответствии с этим разделить удары на удары внутренние и внешние, смотря по тому, относятся ли ударные силы к той или другой категории. Закон равенства действия и противодействия применим и к ударным силам. Из этого закона следует, что проекции на ось, например на ось

ударов, вызванных действием и противодействием, равны и противоположны по знаку, и, следовательно, удары, вызванные действием и противодействием, равны и прямо противоположны.

Мы будем отличать поэтому внутренние удары от внешних ударов . Удары, приложенные к точке системы,

удовлетворяют последним уравнениям предыдущего параграфа, которые в данном случае принимают вид в векторной форме:

и в алгебраической форме:

Воспользуемся этими соотношениями, чтобы распространить на теорию удара теоремы о количестве движения системы, о движении центра инерции и о моментах.

309. Теорема количества движения.

Сложим между собой уравнения вида (1), написанные для всех точек системы; сумма всех внутренних ударов, произведенных в системе, будет равна нулю в силу закона равенства действия и противодействия. Поэтому получим

Это уравнение выражает следующую теорему:

Если система материальных точек внезапно подвергается нескольким ударам, то геометрическое изменение ее количества движения (или приобретенное количество движения системы) равно сумме внешних ударов. - В проекциях теорема выражается следующим образом: сумма изменений проекций на ось количеств движения всех точек системы равна сумме проекций на ту же ось всех внешних ударов.

В частности, если имеются только внутренние удары, то эта теорема обращается в теорему сохранения количества движения:

Если все удары внутренние, то количество движения системы остается неизменным.

310. Движение центра инерции.

Пусть М — полная масса системы и — скорость ее центра инерции; имеем

На основании этого соотношения векторное равенство предыдущего пункта может быть написано в виде

Отсюда имеем следующую теорему:

Если система внезапно подвергается ударам, то геометрическое изменение количества движения центра инерции (пли количество движения, приобретенное центром инерции), в предположении, что в нем сосредоточена вся масса, равно геометрической сумме внешних ударов.

311. Теорема моментов.

Возвратимся к уравнениям (2), которыми заканчивается п° 308. Рассматривая координаты х, у, z точки системы как неизменяющиеся во время удара, умножим первое уравнение на —у, второе на х; складывая почленно оба уравнения и производя суммирование по всем точкам системы, получим

Так как х и у не изменяются в течение того весьма короткого промежутка времени, когда происходит изменение скорости V, обозначенное символом Д, то эти координаты можно рассматривать как постоянные при выполнении операции Д и выносить их за знак Д. С другой стороны, в правой части мы имеем моменты ударов относительно оси z; но сумма моментов внутренних ударов равна нулю в силу закона равенства действия и противодействия; поэтому получим

Отсюда имеем следующую теорему:

Если система внезапно подвергается ударам, то изменение главного момента количеств движения относительно неподвижной оси равно главному моменту внешних ударов относительно той же оси.

Эту теорему можно применить к моментам относительно трех прямоугольных осей, имеющих общее начало О. Так как главные моменты количеств движения относительно указанных осей равны проекциям на эти оси кинетического момента относительно точки О, то имеем следующую теорему:

Если система внезапно подвергается ударам, то геометрическое изменение кинетического момента относительно какой-нибудь точки равно главному моменту внешних ударов относительно той же точки.

В двух предыдущих теоремах мы рассматривали моменты относительно неподвижной оси или относительно неподвижной точки. При рассмотрении движения твердого тела можно пренебречь перемещением этого тела за время удара. Поэтому обе предыдущие теоремы можно также применять в предположении, что ось или точка связаны с телом.