ГЛАВА XXIV. РАВНОВЕСИЕ ПЛАВАЮЩИХ ТЕЛ

§ 1. УСТОЙЧИВОСТЬ РАВНОВЕСИЯ ТЯЖЕЛОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА, ОПИРАЮЩЕГОСЯ НА ГОРИЗОНТАЛЬНУЮ ПЛОСКОСТЬ ОДНОЙ ТОЧКОЙ

470. Предварительные замечания.

Архимед был первым из ученых, кому удалось рассмотреть замечательные примеры равновесия для тел определенной геометрической формы, плавающих в тяжелой жидкости. Его исследования относятся к телам сферической, цилиндрической и параболической формы. Принципы современных методов основаны на рассмотрении так называемой поверхности центров (вытесненных объемов.

Практически важным вопросом, относящимся к равновесию плавающих тел, является вопрос об устойчивости равновесия. Этот вопрос может быть удовлетворительно решен, если показать, что условия равновесия плавающего тела могут быть отождествлены с условиями равновесия тяжелого твердого тела, которое опирается выпуклой поверхностью на горизонтальную плоскость и может свободно катиться и вертеться по этой плоскости. Мы начнем с изучения этой предварительной задачи.

471. Устойчивость равновесия тяжелого твердого тела, опирающегося точкой выпуклой поверхности на горизонтальную плоскость.

Предположим, что тяжелое твердое тело опирается на неподвижную горизонтальную плоскость точкой М своей поверхности. Эта поверхность (S) предполагается выпуклой, по крайней мере вблизи от точки касания она может катиться и вертеться по неподвижной плоскости. Задача заключается в том, чтобы изучить условия равновесия тела и условия устойчивости равновесия. При этом мы будем пренебрегать влиянием веса вытесненного воздуха на условия равновесия.

Действующие на тело силы приводятся в этом случае к весу тела (приложенному в центре тяжести Г) и к равной и прямо противоположной весу реакции неподвижной плоскости (приложенной в точке М). Поэтому для равновесия тела необходимо и достаточно, чтобы эти две силы действовали по одной прямой в разные стороны, т. е. чтобы нормаль к поверхности (5) в точке касания М проходила через центр тяжести тела. Если это условие выполнено, то оно сохранится, когда тело будет вертеться на неподвижной плоскости. По отношению к верчению тела (при исключении качения) равновесие оказывается, таким образом, безразличным. Вопрос об устойчивости может возникнуть лишь в отношении различных возможных движений качения.

На основании классической теоремы Лежен-Дирихле (п° 283), материальная система находится в устойчивом равновесии во всяком положении, в котором силовая функция (в предположении, что она существует) имеет максимум. В рассматриваемом случае работу совершает только сила тяжести, и соответствующая силовая функция проходит через максимум одновременно с направленной вниз вертикальной координатой центра тяжести: равновесие будет устойчивым, если при всяком виртуальном перемещении тела центр тяжести поднимается. Мы будем считать очевидным, что равновесие не может быть устойчивым, если имеются виртуальные перемещения, при которых центр тяжести опускается.

Если центр тяжести Г лежит на вертикали, проходящей через точку опоры М, и находится под этой точкой, то при всяком качении тела центр Г поднимается (так как отвесная прямая ГМ делается при этом наклонной и точка М, связанная с телом, поднимается) и, следовательно, равновесие устойчиво.

Мы будем предполагать поэтому в дальнейшем, что центр тяжести Г находится над неподвижной плоскостью.

Предположим, что равновесие имеет место. Нормаль к поверхности (S) в точке опоры М проходит через центр тяжести Г. Опишем из точки Г как из центра сферу радиусом ГМ, касательную в точке М к неподвижной плоскости и к поверхности (S) и лежащую над неподвижной горизонтальной плоскостью.

Возможны четыре случая:

1°. Вблизи от точки М сфера находится вся внутри выпуклой поверхности (S). В этом случае всякое перемещение точки

касания и соответствующей касательной плоскости уводит эту точку и плоскость за сферу (так как касательная плоскость находится вне S) и потому удаляет касательную плоскость от центра тяжести: центр тяжести поднимается, и равновесие устойчиво.

2°. Вблизи от точки М поверхность (S) лежит вся внутри сферы. Всякое перемещение точки касания М уводит эту точку внутрь сфгры и приближает благодаря этому касательную плоскость к центру тяжести: равновесие неустойчиво.

3°. Поверхность сферы пересекает поверхность (S). Точку касания можно по желанию перевести внутрь сферы или вне ее. Имеются поэтому перемещения, понижающие центр тяжести: равновесие неустойчиво.

4°. Поверхности не пересекаются, но имеют бесконечное множество общих точек вблизи от точки М. Равновесие не может быть устойчивым. Если оно не является неустойчивым (для всех перемещений), то (для некоторых перемещений) оно безразличное. Если случай неустойчивости не имеет места, то равновесие безразличное. В частности, если поверхность (S) (вблизи от М) совпадает со сферой, то равновесие безразличное (при всех перемещениях).

Поэтому для выяснения вопроса об устойчивости важно изучить уравнение поверхности (S), чтобы выявить аналитические признаки, свойственные первому случаю.

472. Центры и главные радиусы кривизны поверхности (S).

Возьмем начало координат в точке М поверхности (S) и проведем оси х и у в горизонтальной (касательной) плоскости, а ось z направим по вертикали вверх. Уравнение поверхности (S) будет иметь вид:

Разложим по формуле Маклорена. Свободный член и члены первой степени относительно х и у исчезнут (вследствие выбора осей), и мы получим

где суть частные производные второго порядка функции f(x, у) в начале координат, а ненаписанные члены — бесконечно малые вместе с х, у, но порядка выше второго.

Можно так выбрать направления осей в касательной горизонтальной плоскости, чтобы заставить исчезнуть член с в написанном выше трехчлене. Тогда получим, но с другими значениями коэффициентов

Мы возьмем уравнение поверхности (S) в этом виде. Ни один из коэффициентов не может быть отрицательным, так как координата положительна (поверхность выпуклая). Из дальнейшего будет видно, что эти два коэффициента представляют собой кривизны в начале координат двух сечений, образованных на поверхности соответственно плоскостями координат Их называют главными кривизнами; обратные же величины суть главные радиусы кривизны, поверхности в точке М. Откладывая длины от точки М на вертикали МТ, получим на этой нормали две точки и представляющие собой главные центры кривизны поверхности в точке М. Направления осей координат суть главные направления на поверхности в точке М.

Перейдем теперь к уравнению сферы с центром Г. Пусть R — MY есть радиус и р = 1 - -кривизна сферы. Уравнение сферы в координатах х, у, С есть

откуда

Предположим х, у бесконечно малыми и разложим радикал по формуле бинома. Соответствующее бесконечно малое значение получится при отрицательном знаке перед радикалом. Заменяя 1: R через , получим

Составим разность между координатами сферы и поверхности. Получим, пренебрегая членами порядка выше второго,

Чтобы поверхность (S) лежала вне сферы вблизи от М, необходимо и достаточно, чтобы z было меньше С, каковы бы ни были х, у. Это условие выполняется, если оба

коэффициента положительны, и оно не имеет места, если, по крайней мере, один из них отрицателен. Условие устойчивости будет, таким образом, выполнено, если значение будет превосходить наибольшую из двух главных кривизн или, что сводится к тому же, если радиус R сферы будет меньше наименьшего из двух главных радиусов кривизны поверхности (S) в точке М.

Мы имеем, таким образом, следующую теорему.

473. Теорема.

Если тяжелое твердое тело опирается на неподвижную горизонтальную плоскость выпуклой поверхностью, то для устойчивости равновесия достаточно, чтобы центр тяжести лежал на вертикали, проходящей через точку опоры, и находился ниже обоих главных центров кривизны, относящихся к этой точке. Равновесие не может быть устойчивым, если центр тяжести лежит выше одного из них.

Эти два главных центра кривизны носят названия малый и большой метацентры; основания для этих названий мы увидим в следующем пункте. Малый метацентр, по определению, лежит ближе к точке М. Условие устойчивости заключается поэтому в том, что центр тяжести тела должен лежать ниже малого метацентра.

474. Метацентры.

Сохраним те же оси, как и в предыдущем пункте. Проведем через центр М кривую, лежащую на поверхности (S) и имеющую касательную МТ. Возьмем на этой кривой точку бесконечно близкую к М. Проведем нормали МТ и MN к поверхности (S) в этих двух точках. Пусть есть кратчайшее расстояние между этими нормалями. Предельное положение на нормали МТ конца отрезка есть метацентр, относящийся к точке М и к тангенциальному направлению МТ на поверхности.

Возьмем написанное выше уравнение поверхности (S) и отбросим бесконечно малые члены порядка выше второго. Будем иметь

Главные значения первых производных от z будут:

Нормаль в точке выражается (в текущих уравнениями

Квадрат расстояния точки этой нормали от имеет выражение

Ордината С метацентра дает минимум этого выражения и, следовательно, обращает в нуль его производную (при отсюда

В пределе и ордината метацентра определяется следующей формулой (где — бесконечно малые величины):

Пусть есть угол наклона касательной МТ к оси тогда координаты у точки М пропорциональны . Поэтому

Из этой формулы видно, что отрезок заключен между двумя главными радиусами кривизны и становится соответственно равным одному из них, если МТ есть одно из главных направлений. Таким образом, метацентр в общем случае лежит между двумя главными центрами кривизны и совпадает соответственно с каждым из них, если касательная МТ есть одно из двух главных направлений. Этим объясняется происхождение названий большой и малый метацентры, данных этим двум точкам.