ГЛАВА XIX. ГИРОСКОПИЧЕСКИЙ ЭФФЕКТ В ДВИЖЕНИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ ОКОЛО НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ

§ 1. ГИРОСКОПИЧЕСКИЙ ЭФФЕКТ. СТРЕМЛЕНИЕ ОСЕЙ ВРАЩЕНИЯ К ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ

385. Стремление осей вращения к параллельности. Формулировка принципа.

Тело вращения, совершающее быстрое вращательное движение вокруг своей оси симметрии, называют гироскопом. Если к точкам оси гироскопа приложить силы, стремящиеся изменить направление оси, то при этом обнаруживаются неожиданные явления, кажущиеся на первый взгляд парадоксальными. С подобными явлениями мы уже встречались при изучении движения тяжелого тела вращения; все они могут быть объяснены при помощи уравнений, аналогичных тем, с которыми мы имели дело в этом случае.

Предположим, что гироскоп, закрепленный в точке О своей оси Oz, находится под действием силы Р, постоянной по величине и направлению и приложенной в точке оси на расстоянии а от О. Возьмем в качестве неподвижной системы три взаимно перпендикулярные оси проходящие через неподвижную точку, причем ось параллельна силе Р, но направлена в обратную сторону. С другой стороны, выберем в качестве триэдра, связанного с гироскопом, три главные оси инерции относительно центра О, направив ось Oz по оси симметрии, а две другие оси Ох и Оу перпендикулярно к оси симметрии. Пусть С есть момент инерции относительно оси Oz и А — момент инерции относительно момент инерции относительно Оу, очевидно, равен А. Пусть, далее, есть начальная угловая скорость гироскопа вокруг оси Уравнения движения гироскопа будут те же, что и уравнения в п° 362, которые определяли углы Эйлера и у при движении тяжелого твердого тела. Но в том случае вектор Р обозначал вес тела, приложенный к центру тяжести, между тем как теперь Р есть произвольная сила, предполагаемая лишь неизменной по величине и направлению. Очевидно, мы встретимся с

явлениями, тождественными тем, которые мы имели в случае тяжелого тела, так как они вытекают из тех же уравнений.

Если очень велико, так что можно пренебречь весьма малыми членами второго порядка по отношению к то единственным видимым движением гироскопа будет очень медленное коническое движение его оси симметрии вокруг оси параллельной Р. Угловая скорость этого движения (угловая скорость средней прецессии), т. е. вращения плоскости вокруг оси равна по величине и знаку

Это вращение происходит вокруг оси в ту же сторону, в какую совершается начальное вращение тела вокруг оси Oz, если е. если сила Р приложена в точке на полупрямой Oz.

Предположим, в частности, что сила Р в начальный момент перпендикулярна к оси симметрии Oz тела. Эта ось будет вращаться вокруг оси параллельной Р, т. е. в плоскости, нормальной к постоянному направлению Р, с постоянной угловой скоростью, указанной выше.

Если предположить и а положительными, то с первого взгляда кажется, что сила Р стремится повернуть ось Oz гироскопа вокруг оси (ОН), перпендикулярной к плоскости Однако такое движение на самом деле не происходит, по крайней мере заметным образом. Видимое перемещение оси Oz оказывается нормальным к тому перемещению, которое стремится сообщить ей сила Р, и совершается в плоскости в ту сторону, в какую полупрямую Oz нужно повернуть для совмещения с осью (ОН).

Ось Oz можно всегда провести в ту сторону, чтобы было положительным, но при этом а может оказаться отрицательным, что изменяет направление оси (ОН) и одновременно направление прецессионного движения на противоположное. Отсюда следует, что и в этом случае ось симметрии Oz гироскопа будет двигаться в направлении к оси (ОН).

Можно поэтому для всех возможных случаев объединить эти свойства движения в следующем правиле, устанавливающем принцип стремления осей вращения к параллельности в его

первой форме; этот принцип был установлен и применялся еще Фуко.

Если тело вращения, закрепленное в одной из точек своей оси, совершает быстрое вращательное движение вокруг этой оси и если к этому телу, нормально к оси, приложить постоянную по величине и направлению силу, то вращение, которое эта сила сообщила бы телу, находящемуся в покое, на самом деле не совершается. Вместо этого ось симметрии тела перемещается по кратчайшему пути к оси того вращательного движения, которое сила стремится произвести, как если бы оба вращения стремились совершаться вокруг одной и той же прямой в одну и ту же сторону.

В этом заключается явление, которое называют гироскопическим эффектом.

Если сила Р, постоянная по величине и направлению, приложена наклонно в точке оси симметрии Oz тела, вместо того чтобы быть нормальной к оси, как мы только что предполагали, то ось гироскопа получает коническое движение вокруг оси Ozx, проведенной через неподвижную точку параллельно силе Р. Принцип стремления осей к параллельности остается справедливым и в этом случае; он применяется в каждый момент к бесконечно малому перемещению оси симметрии тела. Это элементарное перемещение рассматривают как происходящее в касательной плоскости к конусу вращения, описываемому в действительности осью Oz.

386. Тела, подобные телам вращения в отношении гироскопических свойств.

В предыдущем пункте мы сформулировали принцип стремления осей вращения к параллельности на основе изложенной выше теории движения тяжелого однородного тела вращения. Однако ни эта теория, ни самый принцип, который мы из нее вывели, не требуют, чтобы твердое тело было на самом деле телом вращения: достаточно, чтобы центральный эллипсоид инерции тела был эллипсоидом вращения. Если это условие осуществлено, то ось симметрии этого эллипсоида будет обладать всеми свойствами, которые были выведены для оси симметрии тела в изложенной выше теории. Действительно, в силу соотношения, связывающего моменты инерции относительно двух параллельных прямых (п° 319), каждая точка оси симметрии центрального эллипсоида есть центр

эллипсоида инерции, который также является эллипсоидом вращения вокруг той же оси. Таким образом, в этом отношении ось симметрии центрального эллипсоида инерции обладает теми же свойствами, как и ось симметрии тела вращения.

Часто бывает легко обнаружить, что данное однородное тело удовлетворяет этим условиям. Самый простой случай тот, когда тело обладает такой осью симметрии, что оно приходит в совпадение с самим собой при повороте вокруг этой оси на угол, меньший половины полного оборота. В самом деле, центр тяжести лежит на этой оси, и центральный эллипсоид инерции приходит в совпадение с самим собой (как и само тело) при повороте вокруг оси симметрии на угол, меньший половины полного оборота, что может иметь место лишь в том случае, если эллипсоид инерции есть эллипсоид вращения вокруг этой оси.

Гироскопы, которые мы будем рассматривать далее, чаще всего в действительности представляют собой тела вращения, и потому мы будем предполагать, что все они обладают этим свойством. Тем не менее предыдущее замечание применяется ко многим другим телам, которые можно рассматривать как гироскопы. Соответствующая ось симметрии центрального эллипсоида инерции таких тел (называемая иначе осью кинетической симметрии) в динамическом отношении эквивалентна оси тел вращения. Мы не будем далее возвращаться к этому вопросу.

387. Приближенное применение теоремы моментов, уточняющее принцип стремления осей вращения к параллельности.

Если твердое тело вращения, закрепленное в одной из точек своей оси и быстро вращающееся вокруг этой оси, находится под действием силы Р, постоянной по величине и направлению и приложенной к точке оси, то, как было установлено, составляющая угловой скорости, направленная по этой оси, постоянна, а составляющие , нормальные к этой оси, остаются весьма малыми во все время движения. Отсюда следует, что кинетический момент (ОК), направляющие коэффициенты которого равны соответственно (в прежних обозначениях) не удаляется заметным образом от оси тела, так что почти совпадает с этой осью во все время движения. Мы покажем в ближайших

пунктах, что это замечание может быть распространено и на многие другие случаи. Во всех этих случаях оказывается поэтому возможным предвидеть движение тела, применяя следующее приближенное правило. (Это правило уточняет принцип стремления осей вращения к параллельности, и в справедливости его мы убедимся непосредственно на примерах.)

Если условиться считать в первом приближении кинетический момент тела совпадающим с его постоянной по величине проекцией на ось тела, то принцип стремления осей вращения к параллельности в точности совпадает с теоремой моментов и позволяет определить среднюю скорость прецессии.

Проверим сначала справгдливость этого утверждения в случае, когда постоянная по величине и направлению сила Р действует нормально к оси Oz тела (оси симметрии). Фиктивный кинетический момент (ОК) величины направлен по оси предполагается положительным). Скорость точки К, по теореме о моментах, геометрически равна моменту (ОН) силы Р относительно точки О и равна по величине (Р действует на расстоянии а от точки О), Таким образом, точка К (увлекающая в своем движении ось Oz тела) движется вокруг оси параллельной Р, в направлении от Oz к ОН с угловой скоростью

То, что изложено, выражает прежний принцип стремления осей вращения и (ОН) к параллельности; последнее выражение представляет собой угловую скорость прецессии, полученную выше.

Справедливость рассматриваемого принципа легко также устанавливается и в том случае, когда сила Р, постоянная по величине и направлению, действует наклонно к оси . В этом случае неподвижная ось (параллельная силе Р) составляет с осью Oz угол Скорость точки К, лежащей на Oz на расстоянии от точки О, попрежнему равна моменту (ОН) силы Р относительно точки О. Но расстояние точки от оси есть и момент (ОН) равен по величине . Таким образом, точка К увлекает полуплоскость в своем движении вокруг оси в сторону вектора (ОН)

с той же самой угловой скоростью, как в предыдущем случае, т. е.

Это — значение, найденное выше.

Этот пример хорошо показывает, что наше правило, представляющее собой не что иное, как (немного уточненный) принцип стремления осей вращения к параллельности, может с выгодой применяться для приближенного определения движения всякий раз, когда можно быть уверенным, что направление вектора кинетического момента лишь немного отклоняется от направления оси тела. Связью между кинетическим моментом тела и его осью симметрии при быстром вращении тела вокруг этой оси можно объяснить все гироскопические явления. Самая эта связь могла бы рассматриваться как наиболее общее определение „гироскопического эффекта".

Существуют весьма общие случаи, когда мы можем убедиться, что между вектором кинетического момента и осью тела имеется тесная связь. Мы переходим теперь к обзору наиболее важных из этих случаев. Сначала установим степень приближения, которой мы достигаем применением изложенного метода.

388. Порядок приближения, полученного применением предыдущего правила.

Мы будем предполагать, что момент G относительно неподвижной точки силы Р, действующей на ось гироскопа, изменяется непрерывно с течением времени и с изменением направления оси тела и что весьма малое угловое отклонение оси тела вызывает изменение того же порядка в величине момента G. Тогда мы можем определить такую постоянную положительную величину , что при отклонении оси тела на угол соответствующее геометрическое изменение момента G будет по величине меньше

Далее, будем считать, что можно заранее указать верхнюю границу угла отклонения кинетического момента от оси тела. При этом предполагается, что телу сообщено начальное вращение вокруг его оси с весьма большой угловой скоростью

Применим теперь условно теорему моментов, допуская в качестве приближения, что кинетический момент (постоянной величины ) совпадает по направлению с осью Oz тела.

Мы покажем, что угловая ошибка в определении направления оси Oz по истечении времени t не превзойдет предела, выраженного условием

С этой целью применим сначала теорему моментов для приближенного определения кинетического момента.

Введем сначала фиктивный кинетический момент ОК (постоянной величины ), определяя его движение по теореме моментов, как если бы движущая сила была приложена к этому моменту, вместо того чтобы быть приложенной к оси тела; отсюда прежде всего следует, что кинетический момент имеет постоянную величину

Вводя вектор ОК вместо истинного кинетического момента ОК, мы делаем ошибку, изменяющуюся с течением времени. Оценим эту ошибку, построив для нее мажоранту.

Пусть — проекция на ось тела истинного кинетического момента ОК. Постоянное значение величины есть . Ошибка, которую мы делаем при определении вектора следовательно, и при определении скорости точки К), прикладывая силу Р к ОК (вместо того, чтобы прикладывать ее к оси Oz), по предположению, меньше значения выражения

так как треугольник равнобедренный и сторона его равна удвоенному произведению постоянной на синус половины угла равного b.

Пусть есть мажоранта расстояния — возможный максимум расстояния , так что . Таким образом, ошибка, которую мы делаем при определении скорости точки К, меньше величины

Так как найденная таким способом приближенная скорость сообщается точке К, то последнее выражение представляет

собой верхнюю границу относительной скорости точки К по отношению к точке К. Следовательно, за время отклонение КК увеличивается самое большее на величину

и мы можем рассматривать это выражение как соответствующее приращение мажоранты . Мы можем поэтому определить эту мажоранту посредством дифференциального уравнения

отсюда, разделяя переменные, имеем

Пусть есть начальное значение при интегрируя последнее равенство, получим

Мы условились начальное направление фиктивного кинетического момента ОК брать по оси Таким образом, начальное отклонение не превосходит . Поэтому имеем

Если теперь, в момент t, мы будем считать, что ось Oz направлена по ОК, иначе говоря, если мы припишем отрезку положение, найденное для ОК, то в определении положения точки мы сделаем ошибку меньшую суммы отклонений , т. е. меньшую . Мы будем иметь, таким образом,

В этом соотношении частное равно , где есть угол измеряющий отклонение оси частное

равно , где есть наибольший возможный угол между осью Oz и вектором ОК. Разделив неравенство на 2, получим

Это и есть то соотношение, которое мы хотели получить. Оно показывает, что если очень мало, то § есть малая величина того же порядка, даже если t — весьма большая величина порядка

Мы можем поэтому высказать следующее положение:

Ошибка, которую мы делаем при определении положения оси Oz тела в какой-либо момент времени, когда условно применяем для этого определения теорему моментов, является величиной порядка наибольшего возможного угла между кинетическим моментом и осью тела, пока время t не сделается весьма большой величиной порядка, более высокого, чем порядок величины

389. Случай, когда существует силовая функция.

Соображения, изложенные в предыдущем пункте, могут быть применены при условии, что движущая сила, приложенная к точке оси тела, находящегося в быстром вращении, будет консервативной или, другими словами, будет иметь силовую функцию.

В самом деле, мы покажем, что если в этом случае начальная угловая скорость достаточно велика, так что ее можно рассматривать как весьма большую величину первого порядка, то угол между кинетическим моментом и осью тела все время будет представлять собой весьма малую величину первого порядка (порядка величины .

Если движущая сила Р приложена к точке оси, то проекция угловой скорости на ось тела есть постоянная величина . С другой стороны, удвоенная живая сила тела равна

Таким образом, с момента, когда тело начало вращаться вокруг своей оси, эта величина получила приращение равное удвоенной работе движущей силы. Работа движущей силы имеет конечную величину, так как, в виду наличия в теле

неподвижной точки, движения его в пространстве ограничены, и поэтому силовая функция может изменяться лишь в конечных пределах. Количество имеет поэтому верхнюю границу, не зависящую от Отсюда следует, что при весьма большом угол между кинетическим моментом и осью тела, тангенс которого равен

имеет в качестве верхней границы весьма малую величину первого порядка .

Это приводит к следующему заключению:

Если тело вращения, закрепленное в одной из точек своей оси, находится под действием консервативной силы, приложенной в точке той же оси, и если начальная угловая скорость вращения тела вокруг своей оси очень велика, то движение этой оси можно определить по уточненному правилу стремления осей вращения к параллельности. Совершаемая при этом ошибка в определении направления оси будет весьма малой величиной первого порядка, пока продолжительность движения, которая может быть очень большой, не будет иметь порядок выше первого.

Непосредственно ясно, что это правило применимо также к случаю, когда начальное вращение происходит не вокруг оси тела, а вокруг другой оси, которая отклонена от оси тела на угол, представляющий собой малую величину первого порядка.

390. Случай, когда линия действия движущей силы пересекает неподвижную ось.

Имеются частные случаи, когда правило стремления осей к параллельности, т. е. приближенное применение теоремы моментов, дает лучшее приближение по сравнению с указанным в предыдущем пункте. Мы уже видели это в случае тяжелого твердого тела, вращающегося вокруг своей оси, когда движение оси отличается от среднего движения лишь на весьма малые члены второго порядка. Этот случай в действительности является частным случаем другого, гораздо более общего, к рассмотрению которого мы теперь переходим.

Предположим; что линия действия силы, приложенной к оси Oz тела, пересекает неподвижную ось Ozx или ей параллельна и что сила эта консервативная. Момент силы относительно точки О перпендикулярен к плоскости поэтому движение оси тела, определяемое по приближенному правилу, будет коническим движением вокруг оси Только величина угловой скорости прецессии может изменяться вместе с изменением величины и направления движущей силы.

Предположим, в частности, что нормальная к Oz составляющая Р движущей силы зависит лишь от угла наклона оси Oz тела к неподвижной оси Ozx. Пусть . Тогда работа движущей силы для элементарного» перемещения тела, при котором угол наклона 6 изменяется на есть , где а — расстояние точки приложения силы от точки О. В этом случае существует силовая функция вида

Работа движущей силы для какого-нибудь перемещения тела зависит поэтому лишь от изменения угла 9 в этом перемещении. Если это изменение весьма мало, то работа будет малой величиной того же порядка.

Посмотрим теперь, каков будет порядок ошибки, которую мы совершим в определении конического движения оси Oz, применяя условно теорему моментов. Будем предполагать, что в начальный момент тело вращается вокруг своей оси.

Мы уже знаем из п° 388, что ошибка в определений направления оси Oz не превзойдет величины первого порядка (пока t не сделается бесконечно большим по отношению к ). На основании приближенного правила 9 должно быть постоянным. Действительные же изменения 6 будут весьма малыми величинами, не менее первого порядка. Вместе с тем и работа движущей силы будет иметь тот же порядок, как мы это только что показали. Но эта работа равна приращению живой силы

которое, в свою очередь, будет иметь тот же порядок малости. Если этот порядок равен 2а, то, обозначая через s угол между

осью Oz и вектором (ОК), мы заметим, что величина этого угла будет иметь порядок частного

т. е. порядок . С другой стороны, можно показать, что порядок этого угла совпадает с порядком 2а работы движущей силы. Действительно, порядок величины работы в точности совпадает, как было сказано, с порядком изменений угла составляемого осью Oz с осью Ozx, но вместо этих изменений можно подставить изменения бесконечно малого угла (или само значение этого угла), так как колебания прямой ОК в ее движении относительно оси бесконечно малы по отношению к колебаниям этой прямой в движении относительно оси Oz (или по отношению к ). В самом деле, пусть а есть угол наклона вектора ОК к оси так как проекции ОК на оси постоянны, то отношение постоянно и равно его начальному значению Отсюда заключаем:

что показывает, что колебания вектора ОК в его движении относительно имеют порядок величины т. е. являются величинами второго порядка по отношению к колебаниям того же вектора относительно оси . Из этого заключаем, что , откуда . Отсюда видно, что количества — весьма малые величины первого порядка, а угол оси Oz с вектором (ОК) — малая величина второго порядка.

Таким образом, применяя правило, установленное мы можем высказать следующее заключение:

Если твердое тело вращения, закрепленное в одной из точек своей оси и находящееся в весьма быстром вращательном движении вокруг нее с угловой скоростью подвергается действию силы, приложенной к одной из точек той же оси и пересекающей неподвижную ось (выходящую из неподвижной точки) или ей параллельной, и если величина момента этой силы, относительно неподвижной точки зависит лишь от угла между подвижной и неподвижной осями, то ось тела описывает приближенно конус вращения вокруг неподвижной оси, а угловая

скорость прецессии определяется условным применением теоремы моментов. Совершаемая при этом ошибка в определении конечного положения оси тела представляет собой весьма малую величину ниже второго порядка, пока время t, которое Может быть очень большим, не будет иметь порядок выше первого (порядок величины ).

Это заключение сохранит свою силу и в том случае, если тело в начальный момент не будет вращаться точно вокруг своей оси, лишь бы начальный угол наклона оси вращения к оси тела можно было рассматривать как весьма малую величину второго порядка.

Все эти заключения применимы, в частности, к движению тяжелого тела вращения около неподвижной точки. Подтверждением этого могут служить гораздо более точные результаты, полученные в предыдущей главе.

391. Случай, когда движущая сила убывает, прогрессивно.

В некоторых случаях сила, приложенная к оси тела, не консервативна, но может быть выражена в виде произведения консервативной силы Р на положительный множитель и функцию от времени, убывающую постоянно с возрастанием t. Положительный множитель представляет в этом случае коэффициент убывания (coefficient d’amortissement).

Наличие этого коэффициента убывания ничего не меняет в тех выводах, которые были получены в двух предшествующих пунктах, если предположить, что выводы эти относятся к консервативной силе Р.

Действительно, пусть со есть силовая функция, относящаяся к Р. Работа силы ЬР будет величиной существенно ограниченной, как и работа силы Р, в силу классической теоремы из теории определенных интегралов, известной под названием второй теоремы о среднем. Элементарная работа силы Р есть работа силы ЬР есть поэтому полная работа силы за промежуток времени от 0 до t выражается интегралом

Если обозначить через подходящее значение времени между О и t, то вторая теорема о среднем позволяет (в предположении,

что положительна) представить этот интеграл в виде

Эта работа будет поэтому величиной ограниченной вместе с функцией при таких же точно условиях, как и в рассмотренном выше случае, и разница между направлениями вектора кинетического момента и оси тела, находящегося в быстром вращательном движении, будет весьма малой величиной порядка, который выше был точно установлен.