ЧАСТЬ ПЯТАЯ. ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА

ГЛАВА XV. ТЕОРИЯ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ

§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ЭЛЛИПСОИД ИНЕРЦИИ

318. Определение.

Рассмотрим систему материальных точек и некоторую произвольную прямую OR. Пусть m есть масса какой-нибудь одной из этих точек М и расстояние от оси OR. Для каждой точки образуем произведение и затем составим сумму всех таких произведений, распространенную на все точки системы. Эту сумму называют моментом инерции системы относительно оси OR. Мы будем обозначать момент инерции через I. Следовательно, имеем по определению

Пусть есть полная масса системы; мы можем определить положительное число k, удовлетворяющее соотношению:

Число k называется радиусом инерции системы относительно оси

Моменты инерции определяют лишь для неизменяемой системы; ясно также, что момент инерции твердого тела зависит от положения оси OR по отношению к телу и что он изменяется вместе с изменением положения этой оси. Чтобы выяснить, как изменяется момент инерции при изменении положения оси, необходимо рассмотреть два случая (предполагаем твердое тело неподвижным): 1° изменение момента инерции по отношению к параллельным осям; 2° изменение момента инерции по отношению к пересекающимся осям.

319. Соотношение между моментами инерции относительно двух параллельных осей.

Достаточно рассмотреть

случай, когда одна из осей проходит через центр тяжести; искомое соотношение выражается тогда следующей теоремой:

Момент инерции тела относительно данной оси равен моменту инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр тяжести, сложенному с произведением массы тела на квадрат расстояния между осями.

Пусть АВ есть какая-нибудь данная ось; примем за ось z параллельную ей прямую проходящую через центр тяжести Г, и пусть будут координаты прямой АВ. Квадрат расстояния точки (х, у, z) от оси равен поэтому момент инерции относительно оси равен

Квадрат расстояния той же точки от оси АВ равен поэтому момент инерции относительно АВ имеет значение

Но равны нулю, так как центр тяжести лежит на оси ; с другой стороны, есть квадрат расстояния между осями; мы приходим, таким образом, к теореме, которую требовалось доказать:

Следовательно, ось, проходящая через центр тяжести, есть ось наименьшего момента инерции среди всех параллельных осей.

320. Моменты инерции относительно пересекающихся осей. Эллипсоид инерции.

Примем точку пересечения заданных осей за начало трех прямоугольных осей координат . Найдем момент инерции тела относительно оси OR, проходящей через начало и определяемой направляющими косинусами

Пусть X, У, z будут координаты точки М, — ее масса, — ее расстояние от оси OR; имеем:

откуда

Умножим обе части на и просуммируем по всем точкам системы; получим

Введем сокращенные обозначения:

Эти шесть величин зависят лишь от точек тела и от выбора трехгранника отсчета в теле, но после того как трехгранник выбран, они остаются постоянными для всех осей OR, проходящих через точку О. Таким образом, имеем

Легко видеть, что коэффициенты А, В, С представляют собой соответственно моменты инерции тела относительно каждой из осей координат Ox, Оу, Oz; коэффициенты D, Е, F называются произведениями инерции или центробежными моментами инерции тела относительно тех же осей.

Формула (1) выражает момент инерции в виде функции трех переменных параметров , определяющих направление оси OR в теле. Она дает закон изменения момента инерции при изменении направления этой оси. Геометрически этот закон интерпретируется при помощи следующего очень простого, но имеющего фундаментальное значение построения.

Возьмем на переменной оси OR такую точку чтобы ее расстояние от точки О было равно обратной величине квадратного корня из момента инерции, т. е. чтобы

координаты и, v, w точки I будут:

Подставим значения полученные из этих равенств, в уравнение (1); тогда после сокращения на общий множитель будем иметь

Это — уравнение геометрического места точки I. Оно представляет собой уравнение поверхности второго порядка с центром в точке О. Поверхность эта есть эллипсоид, так как ее радиус-вектор, равный всегда имеет конечное значение.

Действительно, этот радиус может обратиться в бесконечность лишь в том случае, когда все материальные точки системы лежат на одной и той же прямой. Принимая эту прямую за ось будем иметь для всех точек, откуда Поверхность второго порядка свелась бы в этом случае к цилиндрической поверхности

представляющей собой круговой цилиндр с осью Мы оставим в стороне этот особый случай, не представляющий никакого интереса.

Геометрическим местом точки I является, таким образом, эллипсоид, получивший название эллипсоида инерции тела относительно точки О. Плоскости и оси симметрии эллипсоида инерции, построенного для точки О, называются главными плоскостями и осями инерции тела относительно точки О. Эллипсоид инерции, относящийся к центру тяжести тела, называется центральным эллипсоидом инерции.

321. Условия того, чтобы ось z была главной осью инерции.

Для того чтобы ось z была главной осью инерции, т. е. осью эллипсоида [формула (2)], необходимо и достаточно, чтобы уравнение (2) не содержало членов первой степени относительно w, т. е. чтобы имели место равенства или

таким образом, центробежные моменты инерции относительно двух других осей должны быть равны нулю.

Если ось z есть главная ось инерции для точки О, она, вообще говоря, не будет главной осью для какой-либо другой из ее точек. В самом деле, пусть h есть ордината точки О. Если OZ есть, кроме того, главная ось инерции для центра О, то условия (3) должны выполняться, если перенести начало в точку О, и мы должны присоединить к условиям (3) новые соотношения:

которые, в силу условий (3), приводятся к равенствам

Эти новые уравнения выражают то обстоятельство, что ось Oz проходит через центр тяжести. Если это условие имеет место, то уравнения (4) будут удовлетворяться, каково бы ни было значение h, и ось z будет главной осью инерции для каждой из ее точек. Отсюда имеем теорему:

Главная ось инерции для центра тяжести является также главной осью инерции для каждой из своих точек. Обратно, если какая-нибудь прямая является главной осью инерции- для двух своих точек, то она представляет собой главную ось инерции для всех остальных своих точек и проходит через центр тяжести.

322. Система, отнесенная к ее главным осям инерции.

Для того чтобы система была отнесена к ее главным осям инерции относительно центра О, взятого за начало координат, уравнение (2) эллипсоида инерции не должно содержать произведений переменных. Это условие выполняется, если D = E = F= 0. Уравнение эллипсоида инерции приводится тогда к виду:

Мдмент инерции l относительно прямой OR, определяемой направляющими косинусами у, равен

где А, В, С представляют собой три главных момента инерции системы относительно центра О.

323. Геометрическое условие, которому должен удовлетворять эллипсоид инерции.

Рассмотрим уравнение произвольного эллипсоида, отнесенного к своим осям:

Если длины полуосей а, b, с произвольны, то этот эллипсоид не всегда может быть эллипсоидом инерции. Действительно, сравним это уравнение с уравнением эллипсоида инерции:

где А, В, С имеют следующие выражения:

Следует заметить, что выражения вида

существенно положительны и что, следовательно, каждый из трех главных моментов инерции А, В, С меньше суммы двух других. Поэтому если наименьшая ось рассматриваемого эллипсоида есть то этот эллипсоид может быть эллипсоидом инерции только при условии, что имеет место соотношение т. е.

324. Полярный момент инерции.

Моментом инерции тела относительно точки О, или его полярным моментом инерции, называют сумму произведений масс всех точек тела на квадраты их расстояний от точки О. Полярные моменты инерции имеют гораздо меньшее значение по сравнению с моментами инерции относительно оси. К тому же, как мы это сейчас покажем, они приводятся к моментам инерции относительно оси.

Проведем через полюс О три прямоугольные оси Oxyz. Полярный момент инерции равен

что может быть приведено к виду:

Эти три суммы представляют собой моменты инерции А, В и С тела относительно трех осей Oxyz. Таким образом, полярный момент инерции равен полусумме моментов инерции тела относительно трех прямоугольных осей, проходящих через полюс.

Отсюда можно вывести замечательное свойство центра тяжести тела:

Центр тяжести тела есть точка, для которой полярный момент инерции тела имеет наименьшее значение.

Пусть М есть какая-нибудь другая точка тела. Проведем через эту точку три оси Mxyz, параллельные осям Oxyz, рассмотренным выше; пусть А, ВС будут моменты инерции тела относительно каждой из осей Mxyz. Момент инерции относительно точки М равен В С). Но А, ВС достигают своих наименьших значений, если соответствующая ось пррходит через центр тяжести (п° 319), что и доказывает теорему.