§ 4. ТЕОРЕМА ЭНЕРГИИ

285. Сумма элементарных работ сил действия и противодействия в случае двух материальных точек.

Рассмотрим две материальные точки М и М, действующие друг на друга соответственно с силами Р и представляющими собой равные и направленные по прямой ММ в разные стороны действие и противодействие.

Обозначим через Р общую величину этих сил, рассматривая ее как положительную в случае притяжения и как отрицательную в случае отталкивания двух точек.

Чтобы вычислить сумму элементарных работ этих двух сил на бесконечно малом, перемещении обеих точек, примем подвижную

систему отсчета в виде трех прямбугольных осей, имеющих начало в точке М и движущихся поступательно со скоростью этой точки. Сумма работ сил равна сумме работ этих сил в переносном перемещении, сложенной с суммой работ в относительном перемещении. Сумма работ двух сил в переносном перемещении равна нулй), так как расстояние между точками при этом не изменяется. В относительном перемещении точка М неподвижна, сила Р, приложенная к ней, работы не совершает, так что сумма всех работ приводится к работе силы приложенной к точке М. Работа этой центральной силы (рассматриваемой как положительная в случае притяжения) равна , где есть расстояние между двумя точками, как это было показано в динамике точки. Окончательно сумма элементарных работ сил действия и противодействия для двух точек равна

Этот же результат легко получить и непосредственным вычислением. Пусть — координаты двух точек М и М. Имеем

и, дифференцируя, а потом умножая на — Р,

Пусть X, Y, Z — проекции действия Р, производимого точкой М на точку — соответствующие величины для противодействия, производимого точкой М на М. На основе принятого правила знаков для Р имеем

Последнее уравнение может быть переписано в виде

что и доказывает предыдущий результат.

286. Работа внутренних сил в материальной системе.

Внутренние силы консервативны, и работа их определяется замечательным выражением, если принять во внимание, что эти силы представляют собой равные между собой и прямо противоположные действия и противодействия между различными точками системы, и если допустить (следуя закону, который подтверждается опытом), что они во всех случаях измеряются произведением масс двух точек на функцию их взаимного расстояния. Эта функция должна рассматриваться как положительная для притяжения и отрицательная для отталкивания. Тогда общая величина действия и противодействия есть (с тем же знаком, как в предыдущем пункте), и сумма элементарных работ этих двух сил равна

если положить

так что функция определена лишь с точностью до постоянной. Обозначим через S сумму, которая распространена на все совокупности точек системы, взятых попарно всеми возможными способами. Заметим, что есть функция координат двух точек. Мы можем положить

Сумма элементарных работ всех внутренних сил принимает тогда вид:

Таким образом, сумма работ внутренних сил представляет собой полный дифференциал функции — П координат точек системы. Эта функция зависит лишь от взаимных расстояний между точками системы. Она определена с точностью до постоянной и представляет собой силовую функцию для внутренних сил.

287. Энергия (потенциальная, кинетическая, полная). Единицы энергии.

Кинетической энергией системы называют живую силу Т системы в данный момент. Потенциальной энергией системы будем называть функцию П координат точек

системы, определенную в предыдущем пункте и представляющую собой силовую функцию внутренних сил, взятую с обратным знаком. Наконец, полной энергией материальной системы в определенный момент времени будем называть. сумму обеих указанных энергий в тот же момент.

Функция П, при помощи которой определяется потенциальная энергия, сама до сих пор была определена лишь с точностью до постоянной. В частных случаях потенциальную энергию определяют окончательно, выбирая эту постоянную таким образом, чтобы функция П не была отрицательной и имела нимум, равный нулю. Чтобы определить этот минимум, принимают во внимание лишь совокупность движений, совместимых с той специальной задачей, которую рассматривают. Тогда этот минимум соответствует некоторому частному положению системы, представляющему собой, вообще говоря, положение устойчивого равновесия . В положении потенциальная энергия системы, следовательно, равна нулю.

Значение потенциальной энергии П в каком-либо другом положении (С) равно сумме работ внутренних сил, производимых при переходе системы из положения (С) в частное положение

Действительно, работа внутренних сил при таком перемещении равна изменению силовой функции, т. е. П (так как равно нулю).

Единицы энергии. Потенциальная энергия, как мы только что видели, есть работа; кинетическая энергия эквивалентна работе, так как, на основании теоремы живой силы, живая сила равна работе силы. Следовательно, единицей энергии является единица работы. Следуя принятой системе единиц, будем выражать энергию в килограммометрах, эргах, джоулях или килоджоулях.

288. Теорема энергии.

Эта теорема представляет собой лишь иное выражение теоремы живых сил, в котором приняты во внимание указанные выше соображения и определения. Необходимо отличать работу внутренних сил от работы внешних сил. Мы будем обозначать первую через и вторую через Применяя теорему живых сил для промежутка времени от до t, получим

Так как сумма работ внутренних сил равна изменению силовой функции, то это уравнение может быть написано в виде

Вспомним, что есть кинетическая энергия и П — потенциальная энергия системы в момент t. Сумма обоих выражений есть полная энергия. Предыдущее уравнение выражает поэтому следующую теорему, представляющую собой теорему энергии:

Изменение полной энергии материальной системы за данный промежуток времени равно сумме работ внешних сил, действующих на систему в течение того же времени.

В частности, при отсутствии внешних сил эта теорема дает закон сохранения энергии, который может быть выражен следующим образом:

Полная энергия системы, находящейся под действием только внутренних сил, остается постоянной.

В этом случае потенциальная и кинетическая энергии взаимно дополняют одна другую. Когда одна увеличивается, другая уменьшается, и наоборот.

Если рассматривать вселенную как систему материальных точек, подверженную исключительно силам их взаимодействия и представляющую собой замкнутое целое, то к ней можно применить предыдущую теорему. При этом предположении (отнюдь не доказанном) полная энергия вселенной остается постоянной.

Припомним, что потенциальная энергия зависит лишь от взаимных расстояний между точками системы и что, следовательно, она вновь получает то же самое значение каждый раз, когда эти расстояния оказываются теми же самыми, иначе говоря, каждый раз, когда система переходит через одну и ту же конфигурацию. Отсюда следует, что изменение потенциальной энергии оказывается равным нулю каждый раз, когда система возвращается к начальной конфигурации, так что изменение полной энергии системы сводится лишь к изменению ее кинетической энергии. Таким образом, если материальная система при своем движении вновь принимает через определенные промежутки времени одну а ту же конфигурацию, то

изменение ее живой силы оказывается равным сумме работ внешних сил за тот же промежуток времени.

В частности, если внешних сил нет или если их работа равна нулю, то живая сила системы получает одно и то же значение каждый раз, когда система переходит через одну и ту же конфигурацию. Это имеет, например, место для случая упругой полоски, зажатой одним из своих концов и совершающей колебательное движение, так как внешние силы (приводящиеся в данном случае к реакциям в месте зажима) не производят работы.

289. Консервативные системы.

Консервативными системами называют системы, к которым применима теорема энергии, т. е. энергия которых остается постоянной при отсутствии внешних сил. Мы показали выше, что материальные системы консервативны, если предположить, что внутренние силы центральные и представляют собой функции от расстояний. Однако это условие не является необходимым для того, чтобы система была консервативной. Достаточно, чтобы внутренние силы были консервативны, т. е. чтобы они имели силовую функцию —П, или, что представляет собой одно и то же, чтобы сумма их элементарных работ выражалась полным дифференциалом . Действительно, доказательство теоремы энергии основывается только на одном этом свойстве.

290. Трения и сопротивления. Физическое обобщение теоремы энергии.

Условия, при которых справедлива теорема энергии, с достаточной точностью осуществляются в небесной механике, в явлениях же, наблюдаемых на поверхности Земли, они выполняются лишь весьма приближенно. На первый взгляд кажется, что материальные системы не являются консервативными. Движения тел в конце концов прекращаются, и при этом их потенциальная энергия не увеличивается. Например, шар, катящийся по горизонтальной плоскости, наконец, останавливается, и, следовательно, происходит потеря энергии. Однако, согласно современным физическим представлениям, эта потеря энергии лишь кажущаяся.

Кажущиеся потери происходят, смотря по обстоятельствам, от трения, вязкости жидкостей, несовершенной упругости твердых тел, различных электрических сопротивлений, магнетизма и т. д. Чтобы объяснить эти потери, не отказываясь от закона

сохранения энергии, физики допускают, что наряду с видимыми движениями, которыми занимается теоретическая механика, существуют скрытые молекулярные движения, порождающие свет, теплоту, электричество. Определенное количество работы может быть преобразовано в теплоту (невидимую живую силу), и, наоборот, определенное количество теплоты может быть преобразовано в работу. Джоуль показал, что одна калория может произвести 427 килограммометров работы. Это число представляет собой механический эквивалент теплоты. Трения и сопротивления производят переход работы в теплоту. Они могут также произвести свет, электричество. Законы, которым подчиняются эти преобразования энергии, составляют предмет термодинамики. Физики пришли, таким образом, к определению энергий различных видов (тепловой, электрической и т. д.), всегда эквивалентных определенному количеству механической энергии, что позволяет выражать их при помощи одной общей меры, например в килограммометрах. Опыт показывает, что полная энергия изолированной системы, т. е. системы, свободной от всякого внешнего воздействия (механического, теплового или какого-либо другого), неизменна. Однако теорема энергии, понимаемая в таком широком смысле, уже не поддается какому-либо математическому доказательству и не относится к теоретической механике.