§ 2. ПРИМЕНЕНИЕ ОСЕЙ, ДВИЖУЩИХСЯ В ПРОСТРАНСТВЕ И В ТЕЛЕ

392. Уравнения, аналогичные уравнениям Эйлера, но отнесенные к другой подвижной системе отсчета

Применим теорему моментов, относя движение твердого тела к некоторой системе осей движущихся одновременно в пространстве и в теле. Неподвижными осями являются оси Подвижные оси Oxyz, связанные с телом, совпадают с тремя главными осями инерции тела относительно центра О. Оси системы имеют то же самое взаимное расположение, как и предыдущие, но ось есть пересечение неподвижной и подвижной плоскостей Углы определяются, как и прежде (п°343). Проекции мгновенной угловой скорости со твердого тела на оси равны соответственно (п° 344):

Проекции на те же оси угловой скорости триэдра отличаются от этих выражений лишь тем, что в них должен отсутствовать член у. Эти проекции будут поэтому:

Проекции кинетического момента ОК, или координаты точки К, равны . Поэтому проекции переносной скорости точки К будут:

Проекции абсолютной скорости точки К получим, прибавляя соответственно к предыдущим величинам проекции ее относительной скорости. Штрих означает здесь производную по времени

На основании теоремы моментов эти проекции равны главным моментам движущих сил относительно тех же осей Если мы обозначим эти моменты через и N, то уравнения для системы отсчета аналогичные уравнениям Эйлера, будут:

393. Равномерное коническое движение твердого тела вращения.

Предыдущие уравнения определяют для каждого момента времени результирующий момент сил, действующих на твердое тело, когда последнее совершает заданное движение. Найдем, в частности, каков будет этот результирующий момент, когда тело совершает равномерное коническое движение вокруг оси

Положим, что угловая скорость тела вокруг своей оси, угол наклона этой оси к и скорость прецессии 4 имеют постоянные значения

Уравнения (1) дают условия:

вследствие чего уравнения (2) принимают вид:

Предположим, что момент получается от действия одной только силы Р, параллельной и приложенной к точке оси тела на положительном расстоянии а от неподвижной точки. Линия действия этой силы лежит в плоскости перпендикулярной к оси . Поэтому имеем отсюда

Знак этого выражения показывает, действует ли сила Р в положительную сторону оси или в противоположную.

Сила Р, в частности, может быть равна нулю. В этом случае коническое движение есть движение по Пуансо. Для этого необходимо и достаточно, чтобы имело место соотношение

Если угловая скорость очень велика, то сила Р, определяемая формулой (4), становится весьма большой вместе с первым членом правой части этой формулы и имеет в качестве главного значения (если пренебречь вторым членом)

Формула (4) нам уже знакома: мы имели ее в , где сила Р представляла собой вес тела.

Необходимо заметить, что сила Р, получающаяся по формуле (4), способна поддерживать коническое движение, определяемое значениями Однако эта сила не приводит тело необходимо в коническое движение, когда мы прикладываем ее к телу; она производит коническое движение лишь в том. случае, когда начальные значения точно удовлетворяют соотношению (4). Если же начальные значения не связаны этим соотношением, то движение тела не будет строго коническим. Оно будет отличаться от конического движения некоторым дрожанием, которое становится незаметным при очень больших значениях

Рассмотрим, в частности, тот случай, когда мы хотим оси Oz тела сообщить вращение вокруг перпендикулярной к ней неподвижной оси. Возьмем эту неподвижную ось за ось

угловая скорость оси тела вокруг будет и угол будет иметь 90°.

Сила Р, которую нужно приложить к оси тела параллельно (т. е. нормально к оси Oz) на расстоянии а от неподвижной точки, выражается формулой (4). Так как то эта формула приводится к виду

Если угловая скорость тела вокруг своей оси очень велика, то требуется весьма большое значение силы Р, чтобы сообщить оси тела хотя бы небольшую угловую скорость . При этом необходимо отметить, что сила Р нормальна к перемещению оси, которое поддерживается действием этой силы.

Опытная проверка этих выводов производится очень просто, при помощи весьма несложных приборов. Достаточно иметь тор, который может вращаться вокруг своей оси и укреплен в кардановом подвесе. Таковы маленькие гироскопы, продающиеся как игрушки и легко удерживаемые в руке. Тору сообщают быстрое вращение вокруг его оси. Если после этого мы хотим изменить направление этой оси, действуя на нее рукой, т. е. если хотим повернуть эту ось вокруг перпендикулярной к ней прямой, то мы должны приложить довольно значительную силу, определяемую формулой (5). Обратно, в силу закона равенства действия и противодействия, ось развивает реакцию, равную и прямо противоположную этой силе. Это энергичное противодействие, направленное нормально к тому перемещению, которое рука сообщает оси, а не навстречу этому перемещению, вызывает в руке неожиданное ощущение, обычно изумляющее того, кто его еще не испытывал. Кажется, что мы имеем здесь самопроизвольное действие прибора, а не просто пассивную реакцию, происходящую от его инерции. В этом именно и заключается поражающее нас явление гироскопического эффекта.