§ 3. ТЕОРЕМЫ ЖИВЫХ СИЛ И ЭНЕРГИИ

300. Теорема живых сил.

Теорема живых сил имеет место и в относительном движении около центра инерции, в предположении, что скорости и работы вычисляются в этом относительном движении, и при условии, что сохраняются реальные силы, действующие в абсолютном движении.

Возвратимся к уравнению, выражающему теорему живых сил в абсолютном движении:

Эта теорема приложима также к движению центра инерции, если его рассматривать как точку с массой М, находящуюся под действием всех внешних и внутренних сил (причем сумма внутренних сил равна нулю). Поэтому имеем

Вычтем это уравнение из предыдущего, принимая во внимание, что

и, на основании теоремы Кёнига,

получим

Таким образом, дифференциал живой силы системы в ее относительном движении около центра инерции равен сумме элементарных работ в этом движении всех внешних и внутренних сил, действующих на систему.

Интегрируя предыдущее уравнение между моментами времени и t, получим теорему живых сил в конечной форме:

Приращение живой силы системы в ее относительном движении около центра инерции равно полной работе в этом движении всех внешних и внутренних сил, действующих на систему.

301. Замечание.

Теорема живой силы в движении около центра инерция может быть получена и как непосредственное следствие общих теорем, относящихся к относительному движению. В данном случае, чтобы рассматривать относительное движение как движение абсолютное, достаточно ввести силы инерции переносного движения -mJ для каждой точки, где J есть ускорение центра инерции. Поступая таким образом, получаем следующую теорему:

В относительном движении около центра инерции сумма элементарных работ сил инерции переносного движения всех точек системы постоянно равна нулю.

Действительно, сумма относительных элементарных работ этих сил равна

так как каждая из сумм Равна нулю.

Отсюда следует, что при применении теоремы живых сил к относительному движению около центра инерции не нужно учитывать сил инерции переносного движения.

302. Внутренняя энергия. Теорема энергии.

Припомним, что работа внутренних сил в абсолютном движении измерязтся изменением функции —П координат различных точек системы. Эта функция при сохранении тех же условий, которые были

введены выше (п° 286), зависит лишь от взаимных расстояний между точками системы. Следовательно, работа внутренних сил не зависит от системы осей, к которым отнесено движение.

Работа внутренних сил в любом относительном движении системы такая же, как и в абсолютном движении.

Внутренней энергией системы называют сумму ее кинетической энергии, вычисленной в относительном движении около центра инерции, и потенциальной энергии, не зависящей (как было указано выше) от неподвижных или движущихся осей, к которым отнесено движение.

Теорема Живой силы, как было показано, применима к относительному движению около центра инерции; следовательно, теорема энергии, представляющая собой ее следствие, также применима к этому движению. Эту теорему можно выразить уравнением:

и высказать следующим образом:

Изменение внутренней энергии материальной системы за данный промежуток времени равно сумме работ внешних сил в относительном движении около центра инерции за тот же промежуток. В частности, если нет внешних сил, внутренняя энергия системы остается постоянной.