§ 4. ПРИБЛИЖЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ В СЛУЧАЕ, КОГДА СОСТАВЛЯЮЩАЯ r0 НАЧАЛЬНОЙ УГЛОВОЙ СКОРОСТИ ОЧЕНЬ ВЕЛИКА

373. Постановка задачи.

В одном из предыдущих параграфов мы изучили случай, когда угловая скорость вращения очень велика, но при этом предполагали, что начальное вращение тела происходит точно вокруг его оси симметрия.

В этом специальном случае интегралы движения выражаются, как мы видели, очень просто через элементарные функции, если пренебречь весьма малыми членами третьего порядка относительно

Приближенный метод распространяется также на тот случай, когда начальное вращение не происходит точно вокруг оси симметрии тела. Достаточно предположить, что в начальный момент ось вращения и ось симметрии тела составляют между собой очень малый угол первого порядка или порядка величины

Эти условия можно осуществить, если поставить задачу в следующей аналитической форме:

Дается начальный угол наклона оси тела Oz к вертикали и нормальная к этой оси составляющая начальной угловой скорости, т. е. два количества:

Предполагается, что в то время как эти два количества остаются постоянными, составляющая значительно возрастает, так что отношение можно рассматривать как весьма

малую величину первого порядка. При этих условиях все еще просто можно получить интегралы движения в конечной форме, пренебрегая членами третьего порядка относительно

Мы дадим это решение в последующем изложении, здесь же сделаем одно предварительное замечание.

Постоянные интегрирования определяются из уравнений (1) п° 367 после подстановки в них начальных значений переменных:

Постоянная а не зависит от , а постоянная зависит от этой величины; так как левые части этих уравнений представляют собой конечные постоянные величины, которые мы предполагаем заданными, то разность есть весьма малая величина первого порядка (так как она входит в последнее уравнение множителем при ).

374. Расположение корней уравнения f(u) = 0.

Рассмотрим расположение корней для и, т. е. корней уравнения

где есть весьма большая величина порядка

Это уравнение имеет, как известно (п° 367), два корня каждый из которых меньше единицы, и один корень и 1. Подставляя два первых корня в уравнение, непосредственно видим, что а следовательно, и их разность представляют собой весьма малые величины первого порядка. Таким образом, амплитуда нутации есть весьма малая величина первого порядка.

С другой стороны, сумма трех корней равна коэффициенту при — в уравнении (1); поэтому имеем

откуда видно, что корень и есть весьма большая величина второго порядка, главная часть которой с точностью до некоторой конечной величины есть

375. Определение u в функции от t.

Положим, как прежде (п° 364),

Эта величина заключена между двумя постоянными

которые представляют собой весьма большие величины первого порядка и разность между которыми есть весьма малая величина второго порядка, так как

Следовательно, полагая мы сделаем в определении k ошибку второго порядка. Полагая мы допустим ошибку пэрвого порядка.

Имея это в виду, можно написать дифференциальное уравнение, определяющее и, в следующей упрощенной форме:

Производя замену переменной, аналогично рассмотренному ранее случаю (п° 364), т. е. полагая

опять приведем дифференциальное уравнение к виду

отсюда, по теореме о среднем, будем иметь

Имеем пренебрегая ошибкой второго порядка. Таким образом, с точностью до малых второго порядка в определении величины к, имеем

Чтобы сократить запись, обозначим через полусумму двух корней их и и через их полуразность:

тогда и получит вид:

где k содержит ошибку второго порядка и, следовательно, и определяется с точностью до малых третьего порядка.

Следует заметить, что производная от k есть весьма малая величина второго порядка. В самом деле, имеем, по определению

376. Вычисление прецессии.

Чтобы вычислить угол прецессии подставим значение (4) величины и в формулу (3) п° 368, определяющую . Так как , то получим

Разложим эту дробь по степеням величины до члена третьего порядка включительно, пренебрегая более высокими степенями, представляющими собой малые величины по крайней мере четвертого порядка. Назовем коэффициенты этого разложения . Тогда, пренебрегая ошибкой четвертого порядка в правой части, получим

и, заменяя через

Проинтегрируем это уравнение так, как если бы величина k была постоянной. Ошибка, сделанная при этом в правой части, будет четвертого порядка. Действительно, обращаясь к выражению

производной от k, полученному в конце предыдущего пункта, можем написать:

Это выражение есть малая величина третьего порядка, одновременно с отношением

Интегрируя, получим, пренебрегая ошибкой третьего порядка (так как t конечно),

Произведенная здесь оценка ошибки, которую мы допускаем, считая k постоянной, может быть применена также при интегрировании выражений (последнее выражение есть линейная функция от ), так как t можно заменить на или . Интегрирование уравнения (5) в предположении, что k постоянная, приводит, таким образом, в правой части к ошибке четвертого порядка (так как t конечно). Выполняя интегрирование, получим

Нужно еще вычислить коэффициенты D, Е, F. Так как в правой части этого уравнения мы пренебрегаем величинами четвертого порядка, то коэффициенты Е и F могут быть вычислены с ошибкой третьего порядка.

Чтобы упростить это вычисление, подставим сначала в уравнение (1), которое напишем в виде

значения двух его корней . Складывая и вычитая результаты подстановки, получим

Первое из этих соотношений показывает, что (5 — Н есть весьма малая величина второго порядка. Следовательно, пренебрегая членами четвертого порядка, можно написать эти два равенства в виде

Теперь мы можем перейти к вычислению трех коэффициентов D, Е, F. Выполняя разложение выражения (5), указанное в начале этого пункта, легко получим

с другой стороны, при вычислении коэффициента F, который умножен на величину второго порядка, мы можем пренебречь разностями второго порядка, что позволит написать

Используя выражения (7) для , получим

Таким образом, искомое разложение (6) получает вид:

Это разложение содержит ошибку четвертого порядка. Умножая на , получим с точностью до величин третьего порядка для

Так как разность между k и есть величина второго порядка, то в этом уравнении k можно заменить на не изменяя порядка приближения. С другой стороны, разность между k и есть величина первого порядка, поэтому отношение отличается от единицы лишь на величину второго порядка. Таким образом, этот множитель можно опустить в предыдущем

равенстве, не меняя порядка приближения. Поэтому, допуская ошибку третьего порядка для получим

Полученное выражение для в котором учитываются величины второго порядка, показывает, что движение оси тела не может быть приведено здесь, как в рассмотренном ранее частном случае, к сложению двух равномерных конических движений. Чтобы снова получить это упрощенное представление движения оси, нужно пренебречь членами второго порядка. Рассмотрим, к чему приводятся интегралы движения, если пренебречь членами второго порядка.

377. Упрощение интегралов движения при отбрасывании членов второго порядка.

Заметим, что разности между с одной стороны, между — с другой представляют собой весьма малые величины первого порядка. Пренебрегая этими разностями в выражениях (4) и (8) для и и соответственно, получим формулы:

По формуле конечных приращений имеем с точностью до величин первого порядка:

Подставляя эти приближенные значения в две предыдущие формулы, получим, пренебрегая ошибкой второго порядка в значениях ,

где, как было положено ранее (п° 361 и 364),

Формулы (9), содержащие ошибку второго порядка, позволяют установить следующее свойство:

Истинная ось тела совершает равномерное коническое движение вокруг средней оси с углом наклона к этой оси в то время как средняя ось сама совершает равномерное коническое движение вокруг вертикали с углом наклона . Угловая скорость истинной оси в нутационном движении есть , а угловая скорость средней оси в движении прецессии есть . Обе эти угловые скорости не зависят от начальных условий движения.

Эти угловые скорости те же, что и в ранее рассмотренном случае, когда начальная угловая скорость была направлена по оси тела. Однако в прежнем частном случае соответствующие формулы были верны до малых величин второго порядка. Здесь же, в только что рассмотренном более общем случае, формулы верны лишь до малых первого порядка.

Замечание. — Если пренебречь и малыми членами первого порядка, то истинная и средняя оси совпадут, и движение оси тела приведется к равномерной прецессии вокруг вертикали с весьма малой угловой скоростью . Если, кроме того, начальная угловая скорость достаточно велика, то это коническое движение оси тела и будет единственным видимым движением тела.

378. Замечание, относящееся к случаю, когда амплитуда нутации есть весьма малая величина второго порядка.

В предыдущих вычислениях мы предполагали, что амплитуда b нутации есть весьма малая величина первого порядка. Если начальное вращение происходит вокруг оси тела, то нутация, как мы знаем, есть малая второго порядка. Посмотрим, каков будет порядок приближения в наших формулах, если будет малой величиной второго порядка.

В этом случае формулы (4) и (8) (во второй из них пренебрегаем последним членом), т. е. формулы

будут содержать лишь ошибку четвертого порядка. Пренебрегая ошибкой третьего порядка, будем иметь:

Следовательно, с точностью до ошибки третьего порядка

Движение оси тела приводится, таким образом, к комбинации двух равномерных конических движений, если пренебречь ошибкой третьего порядка. Угловые скорости обоих движений, с той же степенью приближения, не зависят от начальных данных.