§ 2. ДАВЛЕНИЯ, ПРОИЗВОДИМЫЕ НА ТВЕРДОЕ ТЕЛО, НАХОДЯЩЕЕСЯ В ЖИДКОСТИ

465. Давление тяжелой жидкости на плоскую поверхность.

Предположим, что твердое тело, имеющее плоскую грань, погружено в тяжелую однородную жидкость. Выделим на этой грани площадь S, заключенную внутри произвольного замкнутого контура и целиком покрытую жидкостью. Допустим, что жидкость имеет свободную горизонтальную поверхность, давление на которой есть Требуется определить давление жидкости на часть грани.

Давления, производимые на все элементы площади грани, параллельны между собой и направлены в одну сторону. Поэтому давления, производимые, в частности, на элементы площади S, имеют равнодействующую Р, приложенную в определенной точке С этой площади и называемую центром давлений.

Примем свободную поверхность жидкости за плоскость и направим ось z в сторону действия силы тяжести; тогда будем иметь

Пусть есть ордината центра тяжести О площади S. Имеем

следовательно,

где есть давление жидкости в точке G.

Таким образом, полное давление на площадь S равно произведению этой площади на давление тяжелой жидкости в центре тяжести площади.

Центр давлений С или точка приложения силы Р будет, конечно, ниже центра тяжести G. В самом деле, равнодействующая Р была бы приложена в точке G, если бы давление было постоянным на S. Но больше для точек, лежащих ниже, чем G, и меньше для точек, лежащих выше, чем G, что, очевидно, понижает центр этих параллельных сил.

466. Равнодействующая давлений, производимых на твердое тело, погруженное в тяжелую жидкость. Принцип

Архимеда.

Когда часть S поверхности, погруженной в тяжелую жидкость, не представляет собой плоскую поверхность, то давления, производимые на различные точки S, не будут параллельны, и потому нельзя утверждать, что эти давления имеют равнодействующую. В общем случае они нриведутся к силе и паре. Можно, однако, утверждать о существовании равнодействующей, если мы рассматриваем полную поверхность твердого тела, целикэм погруженного в тяжелую жидкость, находящуюся в равновесии.

Действительно, если заменить погруженное в жидкость тело таким же объемом жидкости, то равновесие сохранится при том же законе изменения давления с глубиной. Следовательно, если рассматривать часть жидкости, заменяющую тело, как изолированную материальную систему, то эта система будет находиться в равновесии под действием своего веса и давлений, идентичных тем, которые прежде действовали на твердое тело. Таким образом, давления, испытываемые твердым телом, погруженным в тяжелую жидкость, находящуюся в равновесии, имеют равнодействующую, равную и прямо противоположную весу вытесненного объема жидкости и проходящую через центр тяжести этого объема (центр давлений).

Если жидкость капельная или газ при постоянном давлении (что можно допустить для ограниченной части атмосферы), то

центр тяжести массы вытесненной жидкости совпадает с центром тяжести вытесненного объема.

Этот принцип применим также к твердому телу, погруженному в среду, находящуюся в равновесии и состоящую из нескольких жидкостей (капельных или газов) различных плотностей.

Жидкости расположены в этом случае слоями в порядке плотности, и погруженное тело может вытеснять несколько различных жидкостей. Равнодействующая давлений, производимых на поверхность погруженного тела, равна сумме весов различных вытесненных жидких масс и приложена в центре тяжести полной вытесненной массы. Можно также сказать, что равнодействующая давлений равна и прямо противоположна равнодействующей весов каждой вытесненной жидкости, приложенных соответственно в центрах тяжести каждой из них.

В этом заключается (в его уточненной форме) принцип Архимеда. Вот некоторые из его главных применений:

Тело, погруженное в атмосферный воздух, теряет в своем весе, который оно имеет в пустоте, часть, равную весу вытесненного воздуха. Чаще всего, когда имеют дело с тяжелыми телами, этим действием атмосферы пренебрегают. Но в случае легких тел дело обстоит иначе. Может случиться, что давление оказывается больше веса тела, и в этом, в частности, заключается причина подъемной силы аэростатов.

Твердое тело, целиком погруженное в воду, теряет часть своего веса, равную весу вытесненной жидкости, причем центр давлений совпадает с центром вытесненного объема.

Твердое тело, погруженное частью в воздух и частью в воду, теряет часть своего веса в воздухе, равную весу в воздухе вытесненного объема воды. Полное давление есть равнодействующая давлений воды, уменьшенных на атмосферное давление. Центр давлений находится в центре тяжести вытесненного объема воды. Если пренебречь весом вытесненного воздуха, то можно высказать принцип, опуская слова, набранные курсивом.

467. Работа давлений жидкости. Силовая функция.

Когда твердое (или даже деформируемое) тело перемещается в тяжелой жидкости, находящейся в равновесии, то элементарная работа давлений, производимых на поверхность тела,

равна изменению интеграла, распространенного на все элементы объема V тела:

где — давление жидкости, находящейся в равновесии, на уровне элемента

Действительно, пусть есть элемент поверхности тела, находящийся под давлением . Если совершает бесконечно малое перемещение, то работа давления, действующего на есть где есть элементарный объем, образованный перемещением элемента в пространстве. Эта работа пол -жительна или отрицательна, смотря по тому, будет ли элемент вычитаться из объема V или прибавляться к нему. Сумма этих работ для всех элементов поверхности тела равна изменению указанного интеграла.

Это выражение зависит лишь от положения тела в жидкости, следовательно, давления, производимые на тело, имеют силовую функцию, определяемую предыдущим интегралом.

В этом заключается очень важный принцип изучения условий устойчивости положений равновесия тела внутри жидкости.

Предыдущие заключения применимы также к тому случаю, когда жидкая среда состоит из нескольких различных жидкостей, расположенных слоями в порядке плотности. Они применимы, в частности, к случаю тела, погруженного частью в воду и частью в атмосферный воздух с давлением . В этом случае силовую функцию можно представить в конечной форме. Если прибавить постоянную величину к написанному выше интегралу, то силовая функция давлений будет

где есть объем, погруженный в воду, и — давление жидкости, уменьшенное на атмосферное давление. Это выражение упрощается при помощи соотношения

и принимает вид:

где через Р обозначен вес вытесненной жидкости и через С — вертикальная ордината (отсчитываемая вниз) ее центра тяжести.