§ 3. СЛУЧАЙ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ В ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЯХ В ДВИЖЕНИИ ПО ПУАНСО

355. Точное интегрирование уравнений Эйлера в случае, когда эллипсоид инерции есть эллипсоид вращения.

Полное интегрирование уравнений движения твердого тела около неподвижной точки в общем случае производится в эллиптических функциях. Но если эллипсоид инерции есть эллипсоид вращэния, то интегрирование весьма просто выполняется посредством элементарных функций. Предположим, что эллипсоид инерции есть эллипсоид вращения вокруг оси Oz, тогда имеем Положим для упрощения

где есть положительная или отрицательная постоянная величина. Уравнения Эйлера принимают вид;

Последнее интегрируется непосредственно и показывает, что есть постоянная величина . Умножая два первых уравнения соответственно на и складывая, получим

Таким образом, проекция угловой скорости на ось эллипсоида вращения и величина самой угловой скорости суть постоянные; имеем

Произведем теперь замену переменных:

Подставляя эти выражения в первые из уравнений Эйлера, получим после некоторых сокращений

Таким образом, имеем следующие выражения для :

Постоянные определяются начальными значениями для

В движении по Пуансо верчение постоянно, оно представляет собой проекцию вектора на направление кинетического момента. Итак, мгновенная угловая скорость (постоянная по величине) имеет постоянные проекции на ось симметрии эллипсоида инерции и на ось кинетического момента. Следовательно, мгновенная ось вращения составляет постоянные углы с осью симметрии эллипсоида инерции и с осью кинетического момента, неподвижной в пространстве. Она описывает, таким образом, в теле конус вращения вокруг оси Oz и в пространстве конус вращения вокруг вектора ОК. Первый конус катится, как известно, по второму. Но прогкция кинетического момента ОК на ось Oz есть т. е. постоянная величина, поэтому ось симметрии эллипсоида инерции описывает в пространстве также конус вращения вокруг оси кинетического момента.

Обратимся теперь к определению углов Эйлера. Так как ось кинетического момента ОК неподвижна, возьмем ее за ось тогда угол есть угол между осями и, как мы только что видели, равен постоянной величине поэтому имеем

Общие выражения для в функции от углов Эйлера

(так как постоянны и равно нулю) приводятся к виду

Из двух первых уравнений, используя выражения (1), получим

откуда

В последнем уравнении, определяющем заменяем его значением — полученным из (3). Тогда будем иметь

отсюда, [так как ]

или после интегрирования

Уравнения (1), (2), (3) и (5) позволяют определить в функции от t; являются постоянными величинами. Задача, таким образом, полностью решена. Мы видим, что углы изменяются пропорционально времени. При этом, как показывает формула (4), производная всегда положительна, и, следовательно, вращение оси Oz вокруг вектора ОК происходит все время в положительном направлении.

Геометрическое представление Пуансо делает очевидными некоторые из полученных результатов. Если эллипсоид инерции есть эллипсоид вращения, то полодия представляет собой параллель на этой поверхности, а герполодия, лежащая в плоскости (Р), есть окружность с центром Р. Таким образом, оба конуса, неподвижный и подвижной, являются конусами вращения, и так как радиус-вектор эллипсоида, вокруг которого происходит вращение, остается постоянным, то вращения равномерны.

356. Точное интегрирование уравнений Эйлера в одном частном случае, когда эллипсоид инерции имеет неравные оси и D = B.

Предположим, что , и выберем начальные данные так, чтобы было , т. е. чтобы расстояние от центра эллипсоида инерции до неподвижной касательной плоскости (Р) было в точности равно средней полуоси эллипсоида. В этом особом случае конус (С), геометрическое место мгновенных осей вращения в теле, вырождается в совокупность двух плоскостей

Полодия, таким образом, состоит из двух эллипсов, пересекающихся в концах средней оси. Данный случай является также особым и для герполодии; мы оставили его в стороне при общем исследовании этой кривой. Возвращаясь к его рассмотрению, покажем сначала, что и в данном случае уравнения Эйлера все еще интегрируются в конечной форме.

Подставим в предыдущее уравнение вместо координат какой-нибудь точки плоскости, описываемой вектором частные их значения — координаты конца этого вектора, и положим

получим

Внесем это значение в интеграл

и положим

тогда мы получим

Подставим значения и q в третье уравнение Эйлера и положим

тогда

Мы получили дифференциальное уравнение, определяющее г. Для интегрирования его произведем замену перемгняой

после подстановки уравнение приводится к виду

где , есть постоянная интегрирования. Постоянная положительна или отрицательна в зависимости от начального значения и. Предположим для определгнности, что она положительна. Полученные формулы дают интегралы уравнений Эйлера и позволяют без труда выразить в функции от t. Однако нет никакой необходимости писать соответствующие выражения этих функций.

Предположим, что t изменяется от до тогда из последней формулы следует, что а изменяется от 0 до . Таким образом, значения начинаются от 0 и возвращаются к 0, переходя от положительных значений к отрицательным. Мгновенный полюс описывает на эллипсоиде инерции полуэллипс, оканчивающийся в двух крайних точках средней оси. Если полюс начинает свое движение от промежуточной точки полуэллипса, то дальнейшее движение его все время происходит в одном направлении. Полюс стремится к одному из концов средней оси, причем этот конец оказывается недостижимым, так как требуется бесконечное время, чтобы до него дойти. Если же в начальный момент мгновенный полюс находится в одном из концов средней оси, то он не сойдет с этого конца, и движение тела будет представлять собой равномерное вращение вокруг средней оси. Исключим этот последний случай и будем искать форму герполодии.

Пусть Р есть попрежнему основание перпендикуляра, опущенного из центра О на неподвижную плоскость (Р). Расстояние ОР равно длине средней полуоси, и конец этой полуоси может касаться плоскости (Р) только в точке Р. Таким образом, когда мгновенный полюс, двигаясь по эллипсоиду, стремится к той ее вершине, которая представляет собой один из концов средней оси, то в то же время в своем движении по неподвижной плоскости он стремится к точке Р. Герполодия

есть, следовательно, кривая, которая начинается от точки, наиболее удаленной от точки Р, и постоянно и неограниченно приближается к этой точке, причем длина дуги этой кривой остается конечной (равной соответствующей дуге полодии).

Покажем, что герполодия представляет, собой спираль, бесконечно закручивающуюся вокруг асимптотической точки Р. В самом деле, скорость точки описывающей полодию, имеет в теле строго определенное асимптотическое направление, а именно — направление касательной к полодии в конце средней оси. Направление же абсолютной скорости, касательной к герполодии, совпадает с направлением относительной скорости (так как эти две скорости в данном случае геометрически равны). Это направление увлекается движением твердого тела, ось вращения которого становится в пределе нормальной к плоскости (Р). Таким образом, точка , которая чертит на плоскости герполодию, описывает один полный виток вокруг асимптотической точки каждый раз, когда твердое тело делает один полный оборот.